数学C

平面上の曲線 2次曲線・媒介変数・極座標

放物線・楕円・双曲線、2次曲線と直線、媒介変数表示、極座標と極方程式を扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 放物線の焦点と準線
  2. 放物線の焦点と準線(縦)
  3. 楕円の焦点
  4. 楕円の焦点(縦長)
  5. 双曲線の焦点と漸近線
  6. 双曲線の漸近線
  7. 円の媒介変数表示
  8. 楕円の媒介変数表示
  9. 極座標から直交座標へ
  10. 直交座標から極座標へ
  11. 極方程式(円)
  12. 放物線の頂点と軸

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 平行移動した放物線
  2. 焦点と長軸から楕円を求める
  3. 焦点と漸近線から双曲線を求める
  4. 楕円の焦点距離の和
  5. 双曲線の焦点距離の差
  6. 媒介変数表示から直交座標へ(放物線)
  7. 極方程式(円になる)
  8. 極方程式(直線になる)
  9. 2次曲線の分類
  10. 放物線の接線
  11. 楕円が囲む面積
  12. 極座標の2点間の距離

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 放物線の通径
  2. 楕円と直線の交点
  3. 双曲線と漸近線ではさむ
  4. サイクロイド
  5. 極方程式が表す2次曲線
  6. 媒介変数から2次曲線(2倍角)
  7. 楕円の接線
  8. 楕円上の点と焦点距離

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 放物線上の点と焦点距離
  2. 楕円の方程式を焦点と長軸から決める
  3. 双曲線の焦点と漸近線
  4. 媒介変数を消去して曲線を求める
  5. 極方程式が表す曲線
  6. 楕円と直線が接する条件
  7. 楕円の接線
  8. 距離の和が一定な点の軌跡(楕円の定義)

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 楕円の面積(円への1次変換)
  2. サイクロイドの1つの山の弧長(媒介変数と積分)
  3. 楕円に内接する長方形の最大面積(媒介変数と最大)
  4. カージオイドの囲む面積(極座標と積分)
  5. 楕円の直交する2接線の交点の軌跡(準円)
  6. 放物線の焦点弦(距離の逆数の和が一定)
  7. 双曲線の接線と漸近線が作る三角形(面積が一定)
  8. アステロイドの囲む面積(媒介変数と積分)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 楕円の反射性質
  2. 焦点距離の公式と離心率・準線
  3. 双曲線と漸近線への距離の積
  4. レムニスケートの囲む面積
  5. 平行な弦の中点の軌跡
  6. サイクロイドの法線と接地点
  7. 共焦点の楕円と双曲線の直交
  8. アステロイドの接線の切片

平面上の曲線の解説(つまずきやすい点と学習の順序)