平面上の曲線 — 2次曲線・媒介変数・極座標

放物線 $y^2=4x$ の焦点と準線を求めよ。

放物線 $x^2=8y$ の焦点と準線を求めよ。

楕円 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ の焦点と、長軸・短軸の長さを求めよ。

楕円 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ の焦点を求めよ。

双曲線 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ の焦点と漸近線を求めよ。

双曲線 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ の漸近線を求めよ。

媒介変数 $t$ を用いて $x=2\cos t$、$y=2\sin t$ と表される曲線は、どのような図形か。

媒介変数 $t$ を用いて $x=3\cos t$、$y=2\sin t$ と表される曲線を、$x$、$y$ の方程式で表せ。

極座標が $\left(2,\frac{\pi }{3}\right)$ である点を、直交座標で表せ。

直交座標が $(1,1)$ である点を、極座標 $(r,\theta )$ で表せ。ただし $r>0$、$0\leqq \theta <2\pi$ とする。

極方程式 $r=2$ はどのような図形を表すか。

放物線 $y^2=4x$ の頂点と軸を答えよ。

放物線 $(y-1{)}^2=4(x-2)$ の頂点と焦点を求めよ。

$2$ つの焦点が $(\pm 3,0)$ で、長軸の長さが $10$ の楕円の方程式を求めよ。

$2$ つの焦点が $(\pm 5,0)$ で、漸近線が $y=\pm \frac{4}{3}x$ である双曲線の方程式を求めよ。

楕円 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 上の点 $\mathrm{P}$ から、$2$ つの焦点 $\mathrm{F}$、${\mathrm{F}}^{\prime }$ までの距離の和 $\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }$ を求めよ。

双曲線 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 上の点 $\mathrm{P}$ から、$2$ つの焦点までの距離の差の絶対値を求めよ。

媒介変数 $t$ を用いて $x=t+1$、$y=t^2$ と表される曲線を、$x$、$y$ の方程式で表せ。

極方程式 $r=2\cos \theta$ を直交座標の方程式に直し、どのような図形か答えよ。

極方程式 $r\cos \theta =2$ を直交座標の方程式に直せ。

次の曲線は、放物線・楕円・双曲線のどれか。 (1) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ (2) $x^2-y^2=1$ (3) $y=x^2-2x$

放物線 $y^2=4x$ 上の点 $(1,2)$ における接線の方程式を求めよ。

楕円 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ が囲む部分の面積を求めよ。

極座標で表された $2$ 点 $\mathrm{A}\left(2,0\right)$、$\mathrm{B}\left(2,\frac{\pi }{2}\right)$ 間の距離を求めよ。

放物線 $y^2=4x$ の焦点を通り、軸に垂直な弦(通径)の長さを求めよ。

楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ と直線 $y=x$ の交点の座標を求めよ。

双曲線 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ について、第 $1$ 象限にある点が $x$ を大きくしていくとき、限りなく近づく直線の方程式を求めよ。

サイクロイド $x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$($0\leqq t\leqq 2\pi$)について、$y$ が最大になるときの $t$ の値と、そのときの点の座標を求めよ。

極方程式 $r=\frac{2}{1-\cos \theta }$ を直交座標の方程式に直せ。

媒介変数 $t$ を用いて $x=\cos 2t$、$y=\sin t$ と表される曲線を、$x$、$y$ の方程式で表せ($-1\leqq y\leqq 1$)。

楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上の点 $\left(\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ における接線の方程式を求めよ。

楕円 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 上の点 $\mathrm{P}$ から一方の焦点 $\mathrm{F}$ までの距離が $7$ であるとき、もう一方の焦点 ${\mathrm{F}}^{\prime }$ までの距離 ${\mathrm{PF}}^{\prime }$ を求めよ。

放物線 $y^2=4x$ 上の点で、焦点からの距離が $5$ である点の座標をすべて求めよ。

$2$ 焦点が $(3,0)$、$(-3,0)$ で、長軸の長さが $10$ である楕円の方程式を求めよ。

双曲線 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ の焦点の座標、頂点の座標、および漸近線の方程式を求めよ。

媒介変数 $t$($t\ne 0$)で $x=t+\frac{1}{t}$、$y=t-\frac{1}{t}$ と表される点 $(x,y)$ は、どんな曲線を描くか。その方程式を求めよ。

極方程式 $r=\frac{2}{1-\cos \theta }$ が表す曲線を、直交座標の方程式で求めよ。

楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ と直線 $y=x+k$ が接するように、定数 $k$ の値を定めよ。

楕円 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 上の点 $\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\right)$ における接線の方程式を求めよ。

$2$ 定点 $\mathrm{F}(3,0)$、${\mathrm{F}}^{\prime }(-3,0)$ からの距離の和が $10$ である点の軌跡の方程式を求めよ。

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)で囲まれた部分の面積を求めよ。

サイクロイド $x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)$($0\le t\le 2\pi$、$a>0$)の $1$ つの山(この範囲)の長さを求めよ。

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ に内接し、各辺が座標軸に平行な長方形の面積の最大値を求めよ。

極方程式 $r=a(1+\cos \theta )$($a>0$、$0\le \theta \le 2\pi$)が表す曲線(カージオイド)が囲む部分の面積を求めよ。

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ に、互いに直交する $2$ 本の接線を引く。その交点の軌跡を求めよ。

放物線 $y^2=4px$($p>0$)の焦点 $\mathrm{F}$ を通る弦 $\mathrm{PQ}$ について、$\frac{1}{\mathrm{FP}}+\frac{1}{\mathrm{FQ}}$ は弦の傾きによらず一定であることを示し、その値を求めよ。

双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点における接線と、$2$ 本の漸近線とで囲まれる三角形の面積は、接点によらず一定であることを示し、その値を求めよ。

アステロイド $x=a{\cos }^{3}t,y=a{\sin }^{3}t$($0\le t\le 2\pi$、$a>0$)が囲む部分の面積を求めよ。

楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ の焦点を ${\mathrm{F}}_1(\sqrt{3},0),{\mathrm{F}}_2(-\sqrt{3},0)$ とする。楕円上の点 $\mathrm{P}$(長軸の端を除く)における接線 $\ell$ について、$\ell$ と直線 ${\mathrm{PF}}_1$ のなす角と、$\ell$ と直線 ${\mathrm{PF}}_2$ のなす角が等しいことを示せ。

楕円 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ の焦点 $\mathrm{F}(1,0)$ と直線 $\ell :x=4$ を考える。

(1) 楕円上の点 $\mathrm{P}(x,y)$ について、$\mathrm{PF}=2-\frac{x}{2}$ が成り立つことを示せ。

(2) $\mathrm{P}$ から $\ell$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とするとき、$\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}$ が一定であることを示し、その値を求めよ。

双曲線 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 上の任意の点 $\mathrm{P}$ から、2本の漸近線に下ろした垂線の長さをそれぞれ $d_1,d_2$ とする。積 $d_1{d}_2$ は $\mathrm{P}$ の位置によらず一定であることを示し、その値を求めよ。

極方程式 $r^2=\cos 2\theta$ で表される曲線(レムニスケート)の囲む部分の面積を求めよ。

楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ を、傾き1の直線 $y=x+k$($k$ は実数)が2点で切るとき、その2交点を結ぶ弦の中点は、$k$ を動かすと1つの直線上に乗ることを示し、その直線の方程式を求めよ。

サイクロイド $x=t-\sin t,y=1-\cos t$($0<t<2\pi$)上の点 $\mathrm{P}$ における法線は、そのときの転がる円と $x$ 軸の接点 $(t,0)$ を通ることを示せ。

楕円 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ と双曲線 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$ を考える。

(1) 2つの曲線の焦点が一致することを示せ。

(2) 2つの曲線は4つの交点をもつ。各交点において、楕円の接線と双曲線の接線が直交することを示せ。

アステロイド $x={\cos }^{3}t,y={\sin }^{3}t$ の $0<t<\frac{\pi }{2}$ の部分の点 $\mathrm{P}$ における接線が、$x$ 軸、$y$ 軸と交わる点をそれぞれ $\mathrm{A},\mathrm{B}$ とする。線分 $\mathrm{AB}$ の長さは $\mathrm{P}$ の位置によらず一定であることを示し、その長さを求めよ。