双曲線の漸近線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 漸近線の公式。

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1⟹\text{漸近線}y=\pm \frac{b}{a}x$$

与式から、$a$ と $b$ を読む。

$$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1⟹a=4,b=3$$

($\sqrt{16}=4$、$\sqrt{9}=3$。分母の平方根であることに注意。)

$$y=\pm \frac{3}{4}x$$

傾きは $\pm \frac{3}{4}$。

$\frac{b}{a}$ であって、$\frac{a}{b}$ ではない。

この分数の"向き"が、いちばん間違えやすい。

覚え方: 「$y$ の分母の  ​ ÷ $x$ の分母の  ​」

分子には $y$ 側($b=3$)、分母には $x$ 側($a=4$)が来る。

丸暗記が不安なら、別解の「$=0$ とおく」方法を使えばよい。 そちらなら、迷いようがない。

$a^2=16$、$b^2=9$ より $a=4$、$b=3$。

$$y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{3}{4}x$$

まとめ:双曲線の漸近線は $y=\pm \frac{b}{a}x$($x^2$ の分母のルートが分母、$y^2$ の分母のルートが分子)。曲線は遠くでこの $2$ 直線に限りなく近づく。$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ とおくと漸近線の式が出る、と覚えてもよい。

発展 — 一歩先へ。 双曲線は、$3$ 次元では双曲面になる。

そして、この形は、意外な場所で使われている。

原子力発電所の冷却塔。

あの、くびれた独特の形。 あれは一葉双曲面という曲面だ。

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

双曲線を、$z$ 軸のまわりに回転させた形である。

なぜ、この形なのか。

理由 $1$: 上昇気流を効率よく作れる。

下が広く、真ん中がくびれ、上が広がる。 この形が、空気の流れを加速し、自然対流を生む。

煙突効果を最大化する形なのだ。

理由 $2$: 直線で作れる!

これが、驚くべき性質だ。

双曲面は、曲面なのに、まっすぐな直線だけで作れる。

線織面という。

確かめてみよう。 双曲面の方程式を変形する。

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1-\frac{y^2}{a^2}$$

$$\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=\left(1+\frac{y}{a}\right)\left(1-\frac{y}{a}\right)$$

この式は、こんな $2$ 本の直線の族で満たされる。

$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{a}+\frac{z}{c}=t\left(1+\frac{y}{a}\right)\\ t\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=1-\frac{y}{a}\end{array}$$

$t$ を動かすと、直線が動いて、双曲面全体を覆う。

曲がった面が、まっすぐな棒の集まりでできている。

この性質が、建築に革命をもたらした。

まっすぐな鉄骨だけで、優雅な曲面が作れる。

曲げた鉄骨より、はるかに安く、強い。

冷却塔、電波塔、東京の一部の建築物 — すべて、この原理で建っている。

ロシアの技術者シューホフが、$1896$ 年に初めてこの構造を実用化した。

そして、双曲面のもう $1$ つの応用。

歯車。

軸が交わらず、平行でもない $2$ 本の回転軸を、なめらかに噛み合わせたい。

その解が、双曲面歯車(ハイポイドギア)だ。

車のデファレンシャルギア(左右の車輪の回転差を吸収する装置)に使われている。

あなたの車の下で、いま双曲面が回っている。

$y=\pm \frac{3}{4}x$ という、$2$ 本の漸近線。

その双曲線を回転させた曲面が、原発を冷やし、電波を飛ばし、車を走らせている。

「曲がった面が、まっすぐな線でできる」

この逆説的な事実が、$2$ 次曲線の隠された贈り物である。

別解

公式を忘れても大丈夫 — 「右辺を $0$ とおいて、因数分解する」。

漸近線の求め方で、いちばん確実な方法だ。

双曲線の式で、右辺の $1$ を $0$ に変える。

$$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=0$$

この式を因数分解する。

$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ の形だ。

$${\left(\frac{x}{4}\right)}^2-{\left(\frac{y}{3}\right)}^2=0$$

$$\left(\frac{x}{4}+\frac{y}{3}\right)\left(\frac{x}{4}-\frac{y}{3}\right)=0$$

それぞれを $0$ とおく。

$$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=0⟹y=-\frac{3}{4}x$$

$$\frac{x}{4}-\frac{y}{3}=0⟹y=\frac{3}{4}x$$

$$y=\pm \frac{3}{4}x$$

本解と同じ ✓ 公式を $1$ 度も使っていない。

なぜ、この方法でよいのか。

$x$、$y$ が非常に大きい世界を想像してほしい。

$$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$$

$x=10000$ なら、左辺の各項は $600$ 万を超える。

その世界で、右辺の $1$ は、あってもなくても同じだ。

$$\text{(巨大な数)}-\text{(巨大な数)}=1\approx 0$$

「無限遠では、$1$ は $0$ と区別がつかない」

この割り切りが、漸近線を生む。

そして、この方法の利点。

① 公式を覚えなくていい。

$\frac{b}{a}$ か $\frac{a}{b}$ かで迷わない。 因数分解すれば、自動的に正しい傾きが出る。

② 一般の双曲線でも使える。

$$\frac{(x-1{)}^2}{16}-\frac{(y-2{)}^2}{9}=1$$

平行移動した双曲線の漸近線は?

$=0$ とおいて因数分解する。

$$\frac{x-1}{4}=\pm \frac{y-2}{3}$$

$$y-2=\pm \frac{3}{4}(x-1)$$

中心 $(1,2)$ を通る、傾き $\pm \frac{3}{4}$ の直線 ✓

公式を覚えていたら、平行移動のぶんを足すのを忘れがちだ。

この方法なら、自動的に処理される。

③ $y$ 軸方向の双曲線でも使える。

$$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1(\text{上下に開く双曲線})$$

$=0$ とおくと、同じ因数分解になる。

$$y=\pm \frac{3}{4}x$$

漸近線は、横向きの双曲線とまったく同じだ!

($2$ つの双曲線は、同じ漸近線を共有する。共役双曲線という。)

この事実も、$=0$ の方法なら一瞬で分かる。

「公式を覚える」より、「原理を使う」ほうが、応用が効く。

そして、間違えない。