媒介変数から2次曲線(2倍角)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x=\cos 2t$ と $y=\sin t$ を、別々に眺めても $t$ は消えない。

$\cos 2t$ を $\sin t$ だけで表す関係を思い出す。$2$ 倍角 $\cos 2t=1-2{\sin }^{2}t$ がそれ。

$\sin t=y$ を代入すれば $x$ が $y$ だけで書ける。三角関数の媒介変数は、倍角公式でパラメータを橋渡しして消す、と見通す。

① 使える公式を選ぶ。 $x=\cos 2t$ に $y=\sin t$ を結びつけたい。$\cos 2t$ を $\sin t$ で表す $2$ 倍角 $\cos 2t=1-2{\sin }^{2}t$ が使える。

② 代入する。 $\sin t=y$ だから

$$x=1-2{\sin }^{2}t=1-2y^2$$

③ 範囲を確認する。 $y=\sin t$ より $-1\le y\le 1$。$x=1-2y^2$ は横向きの放物線(の一部)。$x$ の範囲も $-1\le x\le 1$ になる。端の点も確認しておく。$t=\pi /2$ のとき $(-1,1)$、$t=3\pi /2$ のとき $(-1,-1)$ に実際に到達するから、両端の点も曲線に含まれる。

まとめ:媒介変数が三角関数でも、$2$ 倍角や相互関係で「片方の変数だけ」に寄せられれば $t$ を消せる。$\cos 2t=1-2{\sin }^{2}t$ を使うと $x=1-2y^2$。頂点 $(1,0)$ で左に開く放物線になる($y$ の範囲つき)。

発展 — 一歩先へ。 消去して得た $x=1-2y^2$ は、頂点 $(1,0)$ で左に開く放物線。ただし $y=\sin t$ は $-1\le y\le 1$ でしか動かないから、描かれるのは端点 $(-1,1)$ と $(-1,-1)$ を結ぶ弧の部分だけ。方程式だけを見て全体の放物線と早合点しないことが大切だ。

しかも、$t$ が $0$ から $2\pi$ まで動くあいだ、$y=\sin t$ は $0\to 1\to 0\to -1\to 0$ と往復する。点はこの弧の上を行ったり来たりする。

媒介変数表示は「どの範囲を、どう動くか」まで含めて曲線を語る。$t$ を消した方程式は形だけを残し、動きと範囲は落ちてしまう。だから範囲 $-1\le y\le 1$ を書き添えて、はじめて元の曲線を正しく表せる。

別解

別解 — 点を打って曲線を予想し、恒等式で確かめる(苦手な人向けの実験ルート)。 公式で消去する前に、$t$ にいくつか値を入れて点を並べてみる。

• $t=0$:$(x,y)=(\cos 0,\sin 0)=(1,0)$。
• $t=\frac{\pi }{6}$:$\left(\cos \frac{\pi }{3},\sin \frac{\pi }{6}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。
• $t=\frac{\pi }{2}$:$(\cos \pi ,\sin \frac{\pi }{2})=(-1,1)$。
• $t=-\frac{\pi }{6}$:$\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$。

$y$ が $\pm \frac{1}{2}$ で $x$ が同じ $\frac{1}{2}$、と左右対称。横倒しの放物線 $x=1-2y^2$ を疑って各点を入れると、$(1,0)$ は $1-0=1$、$\left(\frac{1}{2},\pm \frac{1}{2}\right)$ は $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$、$(-1,1)$ は $1-2=-1$。全部ぴたりと乗る。

予想が立ったら、恒等式で仕上げる。$x-(1-2y^2)=\cos 2t-1+2{\sin }^{2}t$ は、倍角公式によりすべての $t$ で $0$。だから曲線は $x=1-2y^2$($-1\le y\le 1$)。

公式で一気に消去する本解と同じ答え。先に点で形をつかむと、消去した式が正しいかの検算にもなる。