極方程式が表す曲線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極方程式を直交座標に直すには、$x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$、$r=\sqrt{x^2+y^2}$ の変換を使う。

まず分母を払って $r-r\cos \theta =2$ の形にする。

すると $r\cos \theta$(=$x$)と $r$(=$\sqrt{x^2+y^2}$)がそのまま代入できる。

$\sqrt{}=2+x$ を $2$ 乗すれば $x,y$ の方程式が出る、と見通す。

① 分母を払う。 $r=\frac{2}{1-\cos \theta }$ より

$$r(1-\cos \theta )=2⟹r-r\cos \theta =2$$

② 直交座標に直す。 $r\cos \theta =x$、$r=\sqrt{x^2+y^2}$ を代入して

$$\sqrt{x^2+y^2}-x=2⟹\sqrt{x^2+y^2}=2+x$$

③ $2$ 乗して整理する。

$$x^2+y^2=(2+x{)}^2=4+4x+x^2⟹y^2=4x+4=4(x+1)$$

まとめ:極方程式は「$x=r\cos \theta$、$r=\sqrt{x^2+y^2}$ を代入」。分母を払って $r-r\cos \theta =2$ にすると代入しやすい。$\sqrt{}=2+x$ を $2$ 乗して $y^2=4(x+1)$(頂点 $(-1,0)$ の放物線)。$\frac{2}{1-\cos \theta }$ の形は放物線(離心率 $1$)を表す。

発展 — 一歩先へ。 $r=\frac{l}{1-e\cos \theta }$ という形は、焦点を極(原点)に置いた円錐曲線の統一表示。離心率 $e$ で形が決まり、$e<1$ なら楕円、$e=1$ なら放物線、$e>1$ なら双曲線になる。

今回は $r=\frac{2}{1-\cos \theta }$ で $e=1$。だから放物線。実際 $y^2=4(x+1)$ の焦点は原点 $(0,0)$ で、極とちょうど一致する。

この極形式は、惑星や彗星の軌道(ケプラーの法則)を表すのに使われる。太陽を焦点(極)に置くと、軌道が $r=\frac{l}{1-e\cos \theta }$ の形になる。極方程式は、天体の運動を記述する言葉でもある。

別解

別解 — 離心率で曲線の種類を見抜く(得意な人向けの視点)。 計算する前に、極形式の分母の形から曲線の種類が分かる。

焦点を極に置いた円錐曲線は $r=\frac{l}{1-e\cos \theta }$ の形で、$e$ が離心率。$e<1$ で楕円、$e=1$ で放物線、$e>1$ で双曲線。

今回の $r=\frac{2}{1-\cos \theta }$ は $\cos \theta$ の係数が $1$、つまり $e=1$。だからこれは放物線だと即断できる。

種類が分かったうえで、直交座標に直す。分母を払って $r-r\cos \theta =2$、$r=\sqrt{x^2+y^2}$、$r\cos \theta =x$ を代入し $\sqrt{x^2+y^2}=2+x$、$2$ 乗して

$$y^2=4(x+1).$$

焦点は原点 $(0,0)$(=極)、準線は $x=-2$。$e=1$ という予想どおりの放物線。

素直に代入して計算する本解と同じ。$e=1$ を見た時点で「放物線が出るはず」と分かるので、計算結果の検算にもなる。円錐曲線の統一形を知っていると、答えの形が先読みできる。