極座標の2点間の距離

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極座標の $2$ 点の距離 — 確実なのは直交座標に翻訳してから測る道だ。

$$\mathrm{A}(2,0)\to (2\cos 0,2\sin 0)=(2,0),\mathrm{B}\left(2,\frac{\pi }{2}\right)\to (0,2)$$

距離の公式で

$$\mathrm{AB}=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-2{)}^2}=2\sqrt{2}$$

極座標のままでは引き算ができない($r$ どうし・$\theta$ どうしを引いても距離にならない)ので、まず翻訳 — が安全策である。

① 直交座標に直す。 $x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$ で

$$\mathrm{A}:(2\cos 0,2\sin 0)=(2,0),\mathrm{B}:(2\cos \frac{\pi }{2},2\sin \frac{\pi }{2})=(0,2)$$

② 距離を計算する。

$$\mathrm{AB}=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-2{)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

まとめ:極座標の $2$ 点間の距離は、いったん直交座標 $(x,y)$ に直してから $\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$ で出すのが確実。$\mathrm{A},\mathrm{B}$ は原点から距離 $2$ で $90^{\circ }$ 離れているので、直角二等辺三角形の斜辺 $2\sqrt{2}$ とも読める。

発展 — 一歩先へ。 極座標の距離公式 $\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)}$ は、複素数の $|z_1-z_2|$(極形式)とまったく同じ式 — 極座標平面と複素数平面が同じ幾何を扱っている証拠だ。ベクトルの $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$ も同族で、余弦定理は $3$ つの単元(三角比・ベクトル・複素数/極座標)を貫く $1$ 本の背骨である。

数Cの曲線の単元はここで一巡 — 直交座標・媒介変数・極座標という、$3$ つの言語で同じ平面の図形を語ってきた。問題ごとに「どの言語なら短く書けるか」を選ぶ目が、この単元で得た最大の道具である。

別解

直交座標を経由せず、三角形を描いて余弦定理で測る道もある — こちらは極座標の意味に忠実だ。

$2$ 点と極 $\mathrm{O}$ で三角形 $\mathrm{OAB}$ を作る。極座標の情報がそのまま三角形の部品になる:

• $\mathrm{OA}=2$($\mathrm{A}$ の $r$)
• $\mathrm{OB}=2$($\mathrm{B}$ の $r$)
• はさむ角 $\angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2}$(偏角の差)

余弦定理で

$${\mathrm{AB}}^2=2^2+2^2-2\cdot 2\cdot 2\cos \frac{\pi }{2}=8-0=8⟹\mathrm{AB}=2\sqrt{2}$$

今回は挟角が直角なので、実は三平方の定理(等辺 $2$ の直角二等辺三角形の斜辺)だけで済む。

一般形 ${\mathrm{AB}}^2=r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)$ は「極座標の距離公式」— 中身は余弦定理そのものだ。極座標は「原点からの距離と角」の言葉なので、原点を頂点とする三角形を描くのが最も自然な作図 — 数Iの余弦定理が、数Cの最後で現役復帰する。