楕円の接線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 楕円上の点での接線には公式があり、接点の座標を「片方だけ $x_1,y_1$ に置きかえる」形($x^2\to x_{1}x$、$y^2\to y_{1}y$)で書ける。

だから微分せずに、接点 $\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\right)$ を公式に代入するだけ。

$a^2=9$、$b^2=4$ を確認する。

あとは係数を見やすく整理する、と見通す。

① 公式に代入する。 $a^2=9$、$b^2=4$、接点 $(x_1,y_1)=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\right)$。接線は

$$\frac{x_1}{9}x+\frac{y_1}{4}y=1⟹\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{9}x+\frac{\sqrt{2}}{4}y=1$$

② 係数を整理する。 $\frac{3\sqrt{2}/2}{9}=\frac{3\sqrt{2}}{18}=\frac{\sqrt{2}}{6}$ だから

$$\frac{\sqrt{2}}{6}x+\frac{\sqrt{2}}{4}y=1$$

(両辺を $\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$ 倍して $x+\frac{3}{2}y=3\sqrt{2}$、さらに $2$ 倍で $2x+3y=6\sqrt{2}$ と整数係数にもできる。)

まとめ:楕円上の点での接線は「$x^2\to x_{1}x$、$y^2\to y_{1}y$ に置きかえる」公式 $\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$。微分不要で、接点を代入するだけ。係数 $\frac{\sqrt{2}}{6},\frac{\sqrt{2}}{4}$ を整理して見やすい形にする。

発展 — 一歩先へ。 接線公式 $\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$ は「$x^2$ を $x_{1}x$、$y^2$ を $y_{1}y$ に置きかえる」という覚えやすい形。円 $x^2+y^2=r^2$ の接線 $x_{1}x+y_{1}y=r^2$ の楕円版だ。放物線でも同じ置きかえが効く。

なぜこれで接線になるのか。楕円上で微分すると、接線の傾きが $-\frac{b^2{x}_1}{a^2{y}_1}$ と出る。それを点 $(x_1,y_1)$ を通る直線として整理すると、ちょうどこの公式になる。だから微分の結果を公式に畳み込んだものだ。

$\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)$ の勾配が、楕円に垂直な向き(法線)を指す。接線はそれに直交する。置きかえ公式の裏には、この幾何がある。

別解

別解 — 陰関数微分で傾きを出す(得意な人向けの視点)。 接線公式を覚えていなくても、楕円の式を微分して傾きを求め、点を通る直線として書けばよい。

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ の両辺を $x$ で微分する。

$$\frac{2x}{9}+\frac{2y}{4}\cdot \frac{dy}{dx}=0⟹\frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{9y}.$$

接点 $(x_1,y_1)=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\right)$ を入れると

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{4\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}}{9\sqrt{2}}=-\frac{6\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}=-\frac{2}{3}.$$

傾き $-\frac{2}{3}$、接点を通る直線として

$$y-\sqrt{2}=-\frac{2}{3}\left(x-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right).$$

整理すると $\frac{\sqrt{2}}{6}x+\frac{\sqrt{2}}{4}y=1$(=$2x+3y=6\sqrt{2}$)。

置きかえ公式を使う本解と同じ接線。陰関数微分で出した傾き $-\frac{2}{3}$ は、公式の係数 $\frac{\sqrt{2}}{6},\frac{\sqrt{2}}{4}$ から出る傾き $-\frac{\sqrt{2}/6}{\sqrt{2}/4}=-\frac{2}{3}$ と一致する。公式は、この微分計算を畳み込んだものだと分かる。