カージオイドの囲む面積(極座標と積分)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極方程式で与えられた曲線が囲む面積は、$\frac{1}{2}\int r^{2}d\theta$(扇形の面積を積み上げる)で計算する。

$r=a(1+\cos \theta )$ を代入すると $\frac{a^2}{2}{\int }_0^{2\pi }(1+\cos \theta {)}^{2}d\theta$。

展開すると $1+2\cos \theta +{\cos }^2\theta$。$\cos \theta$ の $1$ 周積分は $0$、${\cos }^2\theta$ は半角で $\frac{1}{2}$ の平均。$1$ 周分を足すと積分は $3\pi$、面積は $\frac{3\pi a^2}{2}$。

① 面積の式。 $$S=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{r}^{2}d\theta =\frac{a^2}{2}{\int }_0^{2\pi }(1+\cos \theta {)}^{2}d\theta .$$ ② 展開して $1$ 周積分。 $(1+\cos \theta {)}^2=1+2\cos \theta +{\cos }^2\theta$。$1$ 周で ${\int }_0^{2\pi }1d\theta =2\pi$、${\int }_0^{2\pi }\cos \theta d\theta =0$、${\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta d\theta ={\int }_0^{2\pi }\frac{1+\cos 2\theta }{2}d\theta =\pi$。よって $${\int }_0^{2\pi }(1+\cos \theta {)}^{2}d\theta =2\pi +0+\pi =3\pi .$$ ③ 面積。 $$S=\frac{a^2}{2}\cdot 3\pi =\frac{3\pi a^2}{2}.$$

まとめ 極方程式の面積は $\frac{1}{2}\int r^{2}d\theta$。$(1+\cos \theta {)}^2$ の $1$ 周積分は、$\cos \theta$ が消え ${\cos }^2$ が半角で均されて $3\pi$。面積は $\frac{3\pi a^2}{2}$。曲線(極座標)・積分・三角の融合。

発展 — 一歩先へ。 カージオイド(心臓形)の面積 $\frac{3\pi a^2}{2}$ は、生成円($r=a$ の円が転がって描く)の面積 $\pi a^2$ のちょうど $\frac{3}{2}$ 倍。マイクの指向性パターンや、$2$ つの円の反射で現れる模様(コーヒーカップの底の光の曲線=カージオイドの仲間)など、身近にも顔を出す。

別解

別解 — $2$ つの半分に分けて対称性を使う(苦手な人向け)。 カージオイド $r=a(1+\cos \theta )$ は $x$ 軸について対称($\cos \theta =\cos (-\theta )$)。だから上半分($0\le \theta \le \pi$)の面積を求めて $2$ 倍すればよい。

面積は $2\times \frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }{r}^{2}d\theta ={\int }_0^{\pi }{a}^2(1+\cos \theta {)}^{2}d\theta$。展開して

$$(1+\cos \theta {)}^2=1+2\cos \theta +{\cos }^2\theta =1+2\cos \theta +\frac{1+\cos 2\theta }{2}=\frac{3}{2}+2\cos \theta +\frac{\cos 2\theta }{2}.$$

$0$ から $\pi$ で積分すると、$\frac{3}{2}$ の項が $\frac{3\pi }{2}$、$\cos \theta$ と $\cos 2\theta$ の項は $0$(と $0$)。よって ${\int }_0^{\pi }=\frac{3\pi }{2}$、面積は $a^2\cdot \frac{3\pi }{2}=\frac{3\pi a^2}{2}$。

$1$ 周を一気に積分する(本解)代わりに、対称性で半分にすると、$\cos \theta$ 型の項が消えることを確かめやすい。