極方程式(円になる)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極 → 直交の翻訳辞書は $3$ 語 — $x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$、$r^2=x^2+y^2$。

$r=2\cos \theta$ のままでは辞書の語がない。両辺に $r$ を掛けて辞書の形を作る。

$$r^2=2r\cos \theta ⟹x^2+y^2=2x$$

平方完成して $(x-1{)}^2+y^2=1$ — 中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円(原点を通る)だ。「$r$ を掛けて $r^2$ と $r\cos \theta$ を作る」が、この型の決め手である。

① 両辺に $r$ をかける。 そのままでは $r\cos \theta$ を使えないので、$r$ をかけて形を作る。

$$r^2=2r\cos \theta$$

② 直交座標に直す。 $r^2=x^2+y^2$、$r\cos \theta =x$ を代入。

$$x^2+y^2=2x$$

③ 平方完成する。

$$x^2-2x+y^2=0\Rightarrow (x-1{)}^2+y^2=1$$

中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円。

まとめ:$r=2\cos \theta$ のように $r$ が $\cos \theta$ を含むときは、両辺に $r$ をかけて $r^2$・$r\cos \theta$ の形を作ると直交座標に直せる。結果は原点を通る円。極方程式では円がとても簡単な式で書けることがある。

発展 — 一歩先へ。 両辺に $r$ を掛ける操作は $r=0$(原点)を解に追加し得るので、厳密には注意が要る。今回は $\theta =\frac{\pi }{2}$ で $r=0$ となり原点はもともと曲線上 — 追加の実害はない。極座標の変形では「原点の扱い」が唯一のデリケートな箇所である。

$r=2\cos \theta$ の親戚たち — $r=2\sin \theta$($y$ 軸上に立つ円)、$r=1+\cos \theta$(カージオイド)、$r=\frac{1}{1+\cos \theta }$(放物線!)— 極座標は「原点(焦点)から測る」座標なので、円錐曲線や渦巻きが驚くほど短い式になる。惑星軌道の計算で極座標が使われる理由である。

別解

$r=2\cos \theta$ という式がなぜ円になるのか — 円の中の直角三角形で種明かしできる。

答えの円を先に描く: 原点 $\mathrm{O}$ を通り、$(2,0)$ を直径の反対端とする円(中心 $(1,0)$・半径 $1$)。円周上の点 $\mathrm{P}$ をとると、$\mathrm{OA}$($\mathrm{A}=(2,0)$)は直径だから

直径に対する円周角は直角(タレスの定理)— $\angle \mathrm{OPA}=90^{\circ }$。

直角三角形 $\mathrm{OPA}$ で、斜辺 $\mathrm{OA}=2$、$\mathrm{O}$ の角が $\theta$(偏角)なら、隣辺は

$$\mathrm{OP}=2\cos \theta$$

— 極座標の $r$ がまさにこれ。つまり $r=2\cos \theta$ は「直径 $2$ の円をタレスの定理で読んだ式」だった。

$\theta$ が $-\frac{\pi }{2}$ から $\frac{\pi }{2}$ まで動くと $\mathrm{P}$ は円を一周する($\theta =0$ で最遠点 $(2,0)$、$\theta \to \pm \frac{\pi }{2}$ で原点へ)。中学の円周角の定理が、極方程式の顔をして再登場している — $r=2a\cos \theta$ 一族(原点を通る円)は、すべてこの三角形の絵で読める。