放物線の焦点と準線(縦)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 前問は $y^2=4x$(横向き)。今度は $x^2=8y$(縦向き)だ。

$x$ と $y$ の役割が、入れかわっている。

標準形。

$$x^2=4py$$

• 焦点: $(0,p)$ — $y$ 軸上
• 準線: $y=-p$ — 横線

与式と見比べる。

$$x^2=8y⟺x^2=4\times 2\times y$$

$4p=8$、つまり $p=2$。

$$\text{焦点}(0,2),\text{準線}y=-2$$

焦点が上($y=2$)、準線が下($y=-2$)。

放物線は、上に開いている。

「$x^2=$ の形なら縦向き、$y^2=$ の形なら横向き」

$2$ 乗されているほうの文字が、対称軸を教えてくれる。 $x^2$ なら $y$ 軸対称(縦向き)だ。

① $p$ を求める。 $x^2=8y$ を $x^2=4py$ と比べて $4p=8$、$p=2$。

② 焦点と準線を書く。

$$\text{焦点}(0,2),\text{準線}y=-2$$

まとめ:$x^2=4py$ は上下に開く放物線(頂点原点)。焦点は $y$ 軸上 $(0,p)$、準線は横線 $y=-p$。$y^2=4px$(左右に開く)と向きが $90^{\circ }$ ちがう。$x^2$ か $y^2$ かで軸の向きが決まる。

発展 — 一歩先へ。 「軸に平行な光線が、焦点に集まる」

この反射性を、証明してみよう。

放物線 $x^2=4py$ 上の点 $\mathrm{P}(x_0,y_0)$ を考える。

この点での接線の傾きは、微分して

$$2x=4p{y}^{\prime }⟹y^{\prime }=\frac{x_0}{2p}$$

ここで、$2$ つの角度を比べる。

① 入射光(軸に平行な、真上から来る光線)と、接線のなす角

② 反射光($\mathrm{P}$ から焦点 $\mathrm{F}(0,p)$ へ向かう線)と、接線のなす角

この $2$ つが等しければ、「入射角 $=$ 反射角」となり、光は焦点へ向かうことになる。

焦点への方向ベクトルは

$$\overrightarrow{\mathrm{PF}}=(0-x_0,p-y_0)$$

$y_0=\frac{x_0^2}{4p}$ を代入して整理すると、$\overrightarrow{\mathrm{PF}}$ と接線のなす角の $\tan$ が、入射光と接線のなす角の $\tan$ と等しくなる。

(計算は少し煩雑だが、必ず一致する。)

この性質は、放物線だけのものではない。

楕円の反射性。

「一方の焦点から出た光は、楕円で反射して、必ずもう一方の焦点に集まる。」

この性質を使った建築が、ささやきの回廊だ。

楕円形の部屋の、一方の焦点でささやくと、反対側の焦点にいる人には、はっきり聞こえる。

間の人には、何も聞こえない。

ロンドンのセント・ポール大聖堂、ワシントンの国会議事堂に、実際にある。

そして、この性質は医療にも使われている。

結石破砕装置(体外衝撃波結石破砕術)。

楕円面の一方の焦点で衝撃波を発生させ、もう一方の焦点に、患者の腎臓結石を置く。

衝撃波がすべて結石に集中し、手術せずに結石を砕く。

双曲線の反射性。

「一方の焦点へ向かう光線は、双曲線で反射して、もう一方の焦点から出たように進む。」

この性質は、カセグレン式望遠鏡で使われている。

主鏡(放物面)で集めた光を、副鏡(双曲面)で反射させ、望遠鏡の後ろへ導く。

ハッブル宇宙望遠鏡も、この方式だ。

$3$ つの $2$ 次曲線が、それぞれ違う反射性をもち、それぞれ違う技術を支えている。

$x^2=8y$ の焦点 $(0,2)$

その $1$ 点に、電波が、光が、衝撃波が集まる。

幾何学の定理が、そのまま技術になる。 $2000$ 年前のアポロニウスが研究した曲線が、いま宇宙を見つめ、病を治している。

別解

縦向きの放物線は、横向きを $y=x$ で折り返したもの。

$2$ つの標準形を、並べてみよう。

$$y^2=4px(\text{横向き})$$ $$x^2=4py(\text{縦向き})$$

$x$ と $y$ を入れかえただけだ。

そして、$x$ と $y$ を入れかえるとは、直線 $y=x$ で折り返すこと。

だから、焦点や準線も、そのまま入れかわる。

$$\text{横向きの焦点}(p,0)⟷\text{縦向きの焦点}(0,p)$$

$$\text{横向きの準線}x=-p⟷\text{縦向きの準線}y=-p$$

公式を $2$ つ覚える必要はない。 $1$ つ覚えて、入れかえればいい。

定義でも確かめよう。

曲線 $x^2=8y$ 上の点 $(4,2)$ を取る。

$$4^2=16=8\times 2✓$$

焦点 $(0,2)$ までの距離。

$$\sqrt{(4-0{)}^2+(2-2{)}^2}=4$$

準線 $y=-2$ までの距離。

$$|2-(-2)|=4$$

等しい ✓ 放物線の定義を満たしている。

さて、縦向きの放物線には、身近な応用がある。

パラボラアンテナ。

衛星から来る電波は、遠くから来るので、ほぼ平行に入ってくる。

この平行な電波が、放物面で反射すると — すべて焦点に集まる。

なぜか。放物線の反射性という性質がある。

「軸に平行な光線は、反射後、必ず焦点を通る」

だから、焦点に受信機を置けば、弱い電波を強く集められる。

逆向きにも使える。

焦点に光源を置くと、反射光は軸に平行な平行光線になる。

• 車のヘッドライト: 電球を焦点に置き、光をまっすぐ前へ
• 懐中電灯: 同じ原理
• 太陽炉: 太陽光を焦点に集めて、$3000$ 度の高温を作る

アルキメデスが、放物面の鏡でローマの軍船を焼いた、という伝説もある(真偽は不明だが)。

そして、この「焦点に集まる」という性質は、望遠鏡にも使われている。

反射望遠鏡(ニュートン式)は、放物面鏡で星の光を焦点に集める。

レンズより大きく作れるので、現代の巨大望遠鏡は、すべて反射式だ。

すばる望遠鏡の主鏡は、直径 $8.2$ m の放物面。

$130$ 億光年彼方の銀河からの、かすかな光を、この $1$ 枚の放物面が焦点に集めている。

$x^2=8y$ の焦点は $(0,2)$

この計算の意味は、「ここに受信機を置けば、宇宙が見える」ということなのだ。