楕円の媒介変数表示

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 前問と同じ手順だ。${\sin }^2+{\cos }^2=1$ で、$t$ を消す。

まず、$\cos t$ と $\sin t$ について解く。

$$x=3\cos t⟹\cos t=\frac{x}{3}$$

$$y=2\sin t⟹\sin t=\frac{y}{2}$$

係数が違う($3$ と $2$)ことに注意。

$2$ 乗して足す。

$${\left(\frac{x}{3}\right)}^2+{\left(\frac{y}{2}\right)}^2={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$$

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$

楕円の標準形だ!

$a=3$(横方向)、$b=2$(縦方向)の、横長の楕円。

円のときは、$x$ と $y$ の係数が同じ($2$ と $2$)だった。

係数が違うと、円がつぶれて楕円になる。

「$(\cos t,\sin t)$ の係数が、そのまま楕円の $a$、$b$ になる」

この対応を掴んでおこう。

① $\cos t$、$\sin t$ を $x,y$ で表す。 $\cos t=\frac{x}{3}$、$\sin t=\frac{y}{2}$。

② 相互関係に代入する。

$${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=(\frac{x}{3}{)}^2+(\frac{y}{2}{)}^2=\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$

まとめ:$(3\cos t,2\sin t)$ は楕円 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$。$\cos t,\sin t$ を $x,y$ で表してから ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ に代入するのが手順。$x,y$ の係数が $a,b$(半軸の長さ)になる。

発展 — 一歩先へ。 「円を引き伸ばすと楕円になる」

この変換を、$1$ 次変換(線形変換)という。

行列で書ける。

$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$$

この行列は、「横に $3$ 倍、縦に $2$ 倍」を意味する。

そして、行列式は

$$\det \left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=3\times 2-0=6$$

この $6$ が、「面積が $6$ 倍になる」ことを表している。

$$\boxed{\text{行列式}=\text{面積の拡大率}}$$

これは、空間ベクトルで学んだ「行列式 $=$ 平行四辺形の面積」と、同じ原理だ。

単位正方形($1\times 1$)が、変換後に $3\times 2$ の長方形になる。 面積は $6$ 倍。

そして、どんな図形でも、面積は $6$ 倍される。

円($\pi$)→ 楕円($6\pi$)✓

この「行列式 $=$ 面積の拡大率」という事実は、積分の変数変換で使われる。

$$\iint f(x,y)dxdy=\iint f\left|\det J\right|dudv$$

($J$ はヤコビ行列。多変数の置換積分で、この行列式が"補正係数"になる。)

極座標変換なら

$$dxdy=rdrd\theta$$

この $r$ が、行列式から出てくる。

さて、$1$ 次変換で「保たれるもの」と「保たれないもの」を、もう一度整理しよう。

保たれる(不変量)。

• 面積の比
• 中点、内分比
• 平行性
• 直線は直線のまま

保たれない。

• 長さ、角度
• 円が楕円になる

「直線が直線のまま」という性質は、決定的に重要だ。

だから、$1$ 次変換は"線形"変換と呼ばれる。

そして、この性質が、コンピュータグラフィックスの基礎になっている。

$3$ D モデルは、三角形(ポリゴン)の集まりだ。

回転、拡大、平行移動 — すべて $1$ 次変換(と平行移動)で表せる。

三角形の $3$ 頂点だけを変換すれば、辺は自動的に正しい位置に来る。(直線が直線に写るから!)

もし変換が線形でなければ、辺が曲がってしまい、計算が爆発的に複雑になる。

「線形性」という制約が、$3$ D グラフィックスを実用的な速度で計算可能にしている。

$x=3\cos t$、$y=2\sin t$

円を引き伸ばして楕円にする、という素朴な操作。

そこに、行列式と面積の関係があり、線形代数があり、$3$ D の世界を描く技術がある。

別解

楕円は、「円を引き伸ばしたもの」である。

単位円の媒介変数表示を、思い出そう。

$$X=\cos t,Y=\sin t$$

この円を、$x$ 方向に $3$ 倍、$y$ 方向に $2$ 倍に引き伸ばす。

$$x=3X=3\cos t,y=2Y=2\sin t$$

これは、この問題の式そのものだ!

つまり、この楕円は「単位円を、横に $3$ 倍、縦に $2$ 倍したもの」である。

この見方の御利益。

① 楕円の面積が、一瞬で出る。

単位円の面積は $\pi$。

横に $3$ 倍すれば面積は $3$ 倍、縦に $2$ 倍すればさらに $2$ 倍。

$$S=\pi \times 3\times 2=6\pi$$

公式 $\pi ab$ の意味が、これで分かる。

② 楕円の性質が、円から翻訳できる。

円で成り立つ性質を、引き伸ばしても保たれるものと、保たれないものに分ける。

保たれるもの($1$ 次変換で不変)。

• 中点は中点のまま
• 面積の"比"は変わらない
• 平行な線は平行のまま
• 接するものは接したまま

保たれないもの。

• 長さ(方向によって伸び方が違う)
• 角度(直角が直角でなくなる)
• 円は円でなくなる(楕円になる)

「面積比が保たれる」という性質は、強力だ。

例: 楕円に内接する最大の長方形の面積は?

円で考える。 単位円に内接する最大の長方形は、正方形。面積は $2$。

引き伸ばすと、面積は $3\times 2=6$ 倍。

$$2\times 6=12$$

楕円に内接する最大の長方形の面積は $12$。

楕円で直接考えると面倒な問題が、円に戻せば一瞬で解ける。

この「$1$ 次変換で円に戻す」という手法は、入試の難問でも使われる。

③ 媒介変数の $t$ は、角度ではない。

ここが重要な注意点だ。

円では、$t$ は点の偏角(中心から見た角度)だった。

楕円では?

点 $(3\cos t,2\sin t)$ の偏角は

$$\tan \theta =\frac{2\sin t}{3\cos t}=\frac{2}{3}\tan t$$

$\theta \ne t$!

$t=45^{\circ }$ のとき、点の偏角は $\arctan \left(\frac{2}{3}\right)\approx 33.7^{\circ }$。

$t$ は「離心角」と呼ばれ、円に戻したときの角度を表す。

楕円上の点の"本当の角度"ではない。

この違いを混同すると、極方程式などで間違える。

「媒介変数は、ただのパラメータ。幾何的な意味は、$1$ つ $1$ つ確認する。」