焦点と漸近線から双曲線を求める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 双曲線の設計図も $a,b,c$ の $3$ 点セット — ただし関係式は楕円と符号が違う。

$$c^2=a^2+b^2(\text{足す!})$$

読み取れるのは、焦点 $c=5$ と、漸近線の傾き $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$。

$b=\frac{4}{3}a$ を関係式に入れて $a^2+\frac{16}{9}{a}^2=25$、$a^2=9$。よって $a=3,b=4$ で

$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$$

① 漸近線から $b$ と $a$ の関係。 $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$ より $b=\frac{4}{3}a$。

② 焦点の式に代入。 $c=5$ で $c^2=a^2+b^2$ だから

$$25=a^2+(\frac{4}{3}a{)}^2=a^2+\frac{16}{9}{a}^2=\frac{25}{9}{a}^2$$

よって $a^2=9$、$b^2=\frac{16}{9}\cdot 9=16$。

③ 方程式を書く。

$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$$

まとめ:双曲線は $c^2=a^2+b^2$(足す)。漸近線の傾き $\frac{b}{a}$ から $b=\frac{4}{3}a$ を作り、焦点の式に入れて $a^2$ を出す。楕円($c^2=a^2-b^2$)と符号が逆なので混同しない。

発展 — 一歩先へ。 この双曲線は遠方で漸近線 $y=\pm \frac{4}{3}x$ に限りなく近づくが決して触れない。式で見ると $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ の右辺 $1$ が「漸近線からのずれの源」で、$x$ が大きいほど相対的に無視され、$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}\approx 0$(漸近線のペア)に近づく — 右辺を $0$ に置き換えると漸近線が出る、という覚え方の理屈である。

$a=b$ の特別な場合(直角双曲線)では箱が正方形になり、漸近線が直交する。$45^{\circ }$ 回すと $xy=k$ の形 — 反比例のグラフが双曲線の一員だった、という数Iからの伏線回収がここで起きる。

別解

連立を解かずに、双曲線の箱の絵で $a,b$ を直読みする方法がある。

双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ には、補助の長方形(横 $2a$・縦 $2b$、原点中心)が付いている — 漸近線はこの長方形の対角線で、焦点までの距離 $c$ は対角線の半分の長さ、つまり

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

($c^2=a^2+b^2$ の正体は、この長方形の対角線の三平方だ。)

問題の条件を箱の言葉に訳す: 対角線の傾きが $\frac{4}{3}$ で、対角線の半分が $5$ — $3$–$4$–$5$ の直角三角形しかない。$a=3,b=4$ が即読みできる。

楕円の $b^2=a^2-c^2$ は「糸を張った三角形」、双曲線の $c^2=a^2+b^2$ は「箱の対角線」— 出どころの絵が違うから符号が違う。$2$ つの絵を持てば、符号の混同は構造的に起きない。