数学C / 平面上の曲線

距離の和が一定な点の軌跡(楕円の定義)

★★★★ 難関楕円軌跡焦点

問題

$2$ 定点 $F (3, 0)$ 、 $F^{'} (- 3, 0)$ からの距離の和が $10$ である点の軌跡の方程式を求めよ。

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「 $2$ 定点からの距離の和が一定」は楕円の定義。焦点が $(\pm 3, 0)$ 、距離の和 $2 a = 10$ 。 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ で方程式が決まる。

解答・解説

距離の和が一定 = 楕円(定義)。 $2$ 焦点が $(\pm 3, 0)$ なので $c = 3$ 、距離の和が $2 a = 10$ より $a = 5$ 。 $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 16$ 。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「 $2$ 定点からの距離の和が一定」は、まさに楕円の定義。

だから座標計算で軌跡を求めるより、定義から直接 $a, b, c$ を読むほうが速い。

$2$ 定点が焦点 $(\pm 3, 0)$ で $c = 3$ 、距離の和が $2 a = 10$ で $a = 5$ 、 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ 。

定義を思い出せば計算がほぼ不要(念のため座標計算でも確かめられる)、と見通す。

公式楕円の定義:

2

焦点からの距離の和が一定(

= 2 a

)。焦点

(\pm c, 0)

、

b^{2} = a^{2} - c^{2}

① 定義から $a, c$ 。 $2$ 定点 $F, F^{'}$ は焦点で $c = 3$ 。距離の和 $2 a = 10$ より $a = 5$ 。

② $b$ を求める。 $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 25 - 9 = 16$ 。

③ 方程式。

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$

(座標で確認: $P (x, y)$ として $(x - 3)^{2} + y^{2} + (x + 3)^{2} + y^{2} = 10$ を整理しても同じ式になる。)

2定点(焦点)からの距離の和が一定な点の軌跡は楕円。PF+PF′=2a

まとめ:「距離の和が一定」は楕円の定義そのもの。焦点から $c = 3$ 、和 $2 a = 10$ で $a = 5$ 、 $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 16$ 。定義を使えば座標計算(根号 $2$ つの整理)を経ずに方程式が書ける。

発展 — 一歩先へ。 「 $2$ 焦点からの距離の和が一定」は、楕円の定義そのもの。 $2$ 本のピン(焦点)に糸をかけ、ピンと張ったまま鉛筆を動かすと楕円が描ける(糸の長さ $= 2 a$ )のは、この定義の実演だ。

同じ楕円 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ は、「焦点 $(\pm 3, 0)$ 、長軸 $10$ 」からも作れる(この単元の別の問題と同じ答え)。定義から入っても、方程式の要素から入っても、行き着く楕円は同じ。

定義を使うと、根号 $2$ つの重い座標計算を回避できる。「 $2$ 定点からの距離の和 $=$ 楕円」「差 $=$ 双曲線」「 $1$ 定点と $1$ 直線から等距離 $=$ 放物線」——定義を知っていれば、軌跡問題の多くは即答できる。

答

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$

別解 — 座標で $2$ 乗して導出する(得意な人向けの確かめ)。 定義に頼らず、距離の和の式を素直に整理しても、同じ楕円が出る。

点 $P (x, y)$ として、 $PF + P F^{'} = 10$ を式にする。 $PF = (x - 3)^{2} + y^{2}$ 、 $P F^{'} = (x + 3)^{2} + y^{2}$ 。

まず $2$ つの距離の $2$ 乗の差をとる。

$P F^{'}^{2} - PF^{2} = (x + 3)^{2} - (x - 3)^{2} = 12 x .$

これは $(P F^{'} - PF) (P F^{'} + PF) = (P F^{'} - PF) \cdot 10$ でもあるから、 $P F^{'} - PF = \frac{12 x}{10} = \frac{6 x}{5}$ 。和 $P F^{'} + PF = 10$ と連立して

$PF = 5 - \frac{3 x}{5} .$

これを $PF^{2} = (x - 3)^{2} + y^{2}$ に入れて整理すると

$(5 - \frac{3 x}{5})^{2} = (x - 3)^{2} + y^{2} ⟹ 25 + \frac{9 x ^{2}}{25} = x^{2} + 9 + y^{2} ⟹ \frac{16 x ^{2}}{25} + y^{2} = 16.$

両辺を $16$ で割って $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 。

定義から $a, b, c$ を読む本解と同じ。距離の和・差をうまく組み合わせると、根号を一度も残さずに整理できる。定義を使う近道が、この計算をきちんと裏づけている。