数学C / 平面上の曲線

放物線上の点と焦点距離

★★★★ 難関放物線焦点準線

問題

放物線 $y^{2} = 4 x$ 上の点で、焦点からの距離が $5$ である点の座標をすべて求めよ。

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放物線 $y^{2} = 4 p x$ の焦点は $(p, 0)$ 、準線 $x = - p$ 。放物線上の点から焦点までの距離は、準線までの距離 $x + p$ に等しい。これを $5$ とおく。

解答・解説

$y^{2} = 4 x$ の焦点は $(1, 0)$ 、準線は $x = - 1$ 。放物線上の点から焦点までの距離は、準線までの距離に等しく $x + 1$ 。これが $5$ になる $x$ を求め、 $y$ を出す。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 放物線の焦点距離は、いちいち距離の公式を使うより「焦点距離 $=$ 準線までの距離」という定義を使うのが速い。

$y^{2} = 4 x$ は $y^{2} = 4 p x$ で $p = 1$ だから、焦点 $(1, 0)$ 、準線 $x = - 1$ 。

放物線上の点から焦点までの距離は、準線までの距離 $x + 1$ に等しい。

だから $x + 1 = 5$ から $x$ が決まる、と見通す。

公式放物線

y^{2} = 4 p x

の焦点は

(p, 0)

、準線は

x = - p

。曲線上の点から焦点までの距離 = 準線までの距離

= x + p

① 焦点距離を $x$ で表す。 $y^{2} = 4 x$ は $p = 1$ で焦点 $(1, 0)$ 、準線 $x = - 1$ 。放物線上の点 $(x, y)$ から焦点までの距離は $x + 1$ 。

② $= 5$ とおく。

$x + 1 = 5 ⟹ x = 4$

③ $y$ を求める。 $y^{2} = 4 \cdot 4 = 16$ より $y = \pm 4$ 。よって点は $(4, 4)$ 、 $(4, - 4)$ 。

放物線 x²=4y。焦点 F(0,1)、準線 y=−1。P から F までの距離=P から準線までの距離

まとめ:放物線の焦点距離は「準線までの距離 $x + p$ 」で計算するのが速い(距離の公式より簡単)。 $x + 1 = 5$ から $x = 4$ 、 $y^{2} = 16$ で $y = \pm 4$ 。上下対称に $2$ 点。

発展 — 一歩先へ。 放物線は、そもそも「焦点までの距離と準線までの距離が等しい点の集まり」として定義される。だから焦点距離 $= x + 1$ (準線までの距離)は、定義そのもの。距離の公式を使わずに済む理由がここにある。

この「焦点と準線からの距離の比(離心率)」が $1$ なのが放物線。比が $1$ より小さければ楕円、大きければ双曲線になる。 $3$ つの円錐曲線は、この $1$ つの見方で統一できる。

放物線の反射性質(焦点から出た光が軸に平行に反射する)も、この定義から導ける。パラボラアンテナや反射鏡は、この性質を使っている。

答

$(4, 4)$ 、 $(4, - 4)$

別解 — 距離の公式で計算する(得意な人向けの確かめ)。 定義を使わず、焦点からの距離を素直に $2$ 乗して計算しても、同じ $x + 1$ が出る。

焦点は $(1, 0)$ 、放物線上の点 $(x, y)$ は $y^{2} = 4 x$ を満たす。焦点までの距離の $2$ 乗は

$(x - 1)^{2} + y^{2} = (x - 1)^{2} + 4 x = x^{2} - 2 x + 1 + 4 x = x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2} .$

$y^{2} = 4 x$ を代入すると、 $y$ が消えてきれいに完全平方 $(x + 1)^{2}$ になる。だから距離は $x + 1$ 。

これが $5$ に等しいので $x = 4$ 、 $y^{2} = 16$ より $y = \pm 4$ 。点は $(4, 4)$ 、 $(4, - 4)$ 。

「焦点距離 $=$ 準線までの距離」を使う本解と同じ。距離を $2$ 乗すると $(x + 1)^{2}$ に化けるのは、まさに焦点・準線の定義( $x + 1$ が準線 $x = - 1$ までの距離)の裏返し。計算でも定義が顔を出す。