サイクロイド

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 高さ $y=1-\cos t$ の中で動くのは $\cos t$ だけ。

$y$ が最大になるのは $\cos t$ が最小、つまり $\cos t=-1$ のとき。$0\le t\le 2\pi$ でそれは $t=\pi$。

媒介変数で表された $y$ の最大は、$y$ を $t$ の関数とみて素直に考えればよい、と見通す。

① $y$ を $t$ で見る。 $y=1-\cos t$。これが最大 ⇔ $\cos t$ が最小。

② $\cos t$ の最小。 $0\le t\le 2\pi$ で $\cos t$ の最小は $-1$、それは $t=\pi$ のとき。

③ 座標を出す。 $t=\pi$ のとき

$$x=\pi -\sin \pi =\pi -0=\pi ,y=1-\cos \pi =1-(-1)=2$$

よって最高点は $(\pi ,2)$。

まとめ:サイクロイドは、半径 $1$ の円がすべらず転がるとき、円周上の $1$ 点が描く曲線。高さ $y=1-\cos t$ は $t=\pi$(円が半回転)で最大 $2$(直径)になる。媒介変数の最大最小は、その変数の関数として素直に考えればよい。

発展 — 一歩先へ。 サイクロイドの $t=0$ と $t=2\pi$ では、$y=0$ で曲線がとがる(尖点)。ここでは速度 $\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)=(1-\cos t,\sin t)$ が両方 $0$ になり、点は一瞬止まる。転がる円が地面に触れる瞬間だ。

最高点 $t=\pi$ では逆に、点は最も速く動く。速さは $2\left|\sin \frac{t}{2}\right|$ で、$t=\pi$ で最大 $2$、$t=0$ で $0$。上で速く、下で止まる。この速さの変化がサイクロイドらしさを生む。

サイクロイドは、坂を転がり落ちる時間が最短になる曲線(最速降下線)、どこから離してもふもとに着く時間が同じ曲線(等時曲線)としても知られる。転がる円が描く $1$ 本の曲線に、これだけの性質が詰まっている。

別解

別解 — 微分して最大を探す(得意な人向けの視点)。 $y$ を $t$ の関数とみて、増減から最大を出す。

$y=1-\cos t$ を $t$ で微分すると $\frac{dy}{dt}=\sin t$。$0\le t\le 2\pi$ で $\frac{dy}{dt}=0$ となるのは $t=0,\pi ,2\pi$。

この $3$ 点で $y$ の値を比べる。

$$y(0)=0,y(\pi )=2,y(2\pi )=0.$$

最大は $t=\pi$ の $y=2$。このとき $x=\pi -\sin \pi =\pi$ で、最高点は $(\pi ,2)$。

$\cos t$ の最小に注目する本解と同じ答え。$\cos t=-1$ を探すのと、$\sin t=0$ の候補から選ぶのは、同じ増減を別の入口から見ている。