数学C / 平面上の曲線

双曲線と漸近線への距離の積

最難関編双曲線漸近線

問題

双曲線 $\frac{x ^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 上の任意の点 $P$ から、2本の漸近線に下ろした垂線の長さをそれぞれ $d_{1}, d_{2}$ とする。積 $d_{1} d_{2}$ は $P$ の位置によらず一定であることを示し、その値を求めよ。

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2本の漸近線への距離を公式で書いて掛けてみる — 分子に現れる式は、どこかで見た形ではないか。双曲線の方程式を「左辺の因数分解」の目で見直すと。

解答・解説

方針

漸近線は x−2y=0 と x+2y=0。点と直線の距離の公式で d₁d₂ を書くと、分子に |x²−4y²| が現れる — これは双曲線の方程式そのもの(=4)。曲線の式が「距離の積」の形に因数分解されている、という構造が種明かし。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 漸近線は $x - 2 y = 0$ と $x + 2 y = 0$ 。点と直線の距離の公式で $d_{1} d_{2}$ を書くと、分子に積 $∣ x - 2 y ∣ ∣ x + 2 y ∣ = ∣ x^{2} - 4 y^{2} ∣$ が現れる。

ここで双曲線の式 $\frac{x ^{2}}{4} - y^{2} = 1$ は、左辺が

$\frac{( x - 2 y ) ( x + 2 y )}{4}$

と漸近線の1次式の積に因数分解されている。つまり曲線上ではつねに $x^{2} - 4 y^{2} = 4$ — 距離の積の分子が、方程式そのものだった。定数になる理由が、式の構造に最初から書き込まれている。

公式点

(x_{0}, y_{0})

と直線

a x + b y = 0

の距離

= \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

。双曲線

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

の漸近線は

\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b} = 0

① 距離を書く。 漸近線は $x - 2 y = 0$ と $x + 2 y = 0$ 。 $P (x, y)$ から

$d_{1} = \frac{∣ x - 2 y ∣}{5}, d_{2} = \frac{∣ x + 2 y ∣}{5}$

② 積に方程式を代入する。

$d_{1} d_{2} = \frac{∣ x - 2 y ∣∣ x + 2 y ∣}{5} = \frac{∣ x ^{2} - 4 y ^{2} ∣}{5}$

$P$ は双曲線上にあるから $\frac{x ^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 、すなわち $x^{2} - 4 y^{2} = 4$ 。よって

$d_{1} d_{2} = \frac{4}{5}$

— たしかに $P$ の位置によらない。

双曲線と2本の漸近線(黒)。点 P から漸近線への2つの垂線(赤破線)の長さの積は、P がどこでも 4/5

③ 吟味。 $P$ が遠くへ行くと一方の漸近線に近づく( $d_{1} \to 0$ )が、そのぶんもう一方から遠ざかり( $d_{2} \to \infty$ )、積はぴったり釣り合う — 「漸近する」ことと「積一定」が表裏になっている。

まとめ: 双曲線の方程式は「漸近線への距離の積 = 一定」の言い換え — 左辺の因数分解がそのまま図形の性質になる。一般の $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ では積は $\frac{a ^{2} b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}}$ になる(同じ計算)。

発展 — 一歩先へ。 $uv = 4$ の見方をさらに進めると、45°回転で $x y = c$ 型(反比例)に移る直角双曲線の一般化が見える。「双曲線=2本の漸近線の1次式の積が一定」という読み方は、漸近線が直交しない一般の双曲線でも通用し、 $d_{1} d_{2} = \frac{a ^{2} b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}}$ という一般公式も同じ計算で出る。

答

$d_{1} d_{2} = \frac{4}{5}$ (一定)

別解

漸近線を新しい座標軸にする( $uv =$ 一定の正体)。 思い切って、漸近線の1次式そのものを新しい変数にとる:

$u = x - 2 y, v = x + 2 y$

すると双曲線の方程式 $x^{2} - 4 y^{2} = 4$ は

$uv = 4$

— 中学以来の反比例のグラフの形になる。双曲線とは「斜めの座標系で見た $uv =$ 一定」だったのだ。

2本の漸近線への距離は $d_{1} = \frac{∣ u ∣}{5}, d_{2} = \frac{∣ v ∣}{5}$ (点と直線の距離の公式の分子が、まさに $u, v$ )。よって

$d_{1} d_{2} = \frac{∣ uv ∣}{5} = \frac{4}{5}$

一定であることが、 $uv = 4$ の一言に還元された。本解の「分子が方程式そのもの」という観察を、座標変換として言い切った形で、 $x y = c$ 型の双曲線(直角双曲線)との血縁も見える。

ポイント

左辺の因数分解 $= \frac{( x - 2 y ) ( x + 2 y )}{4}$ が種明かし。
$d_{1} d_{2} = \frac{∣ x ^{2} - 4 y ^{2} ∣}{5}$ に方程式 $x^{2} - 4 y^{2} = 4$ を代入。
$d_{1} d_{2} = \frac{4}{5}$ (遠方で $d_{1} \to 0$ 、 $d_{2} \to \infty$ の釣り合い)。

よくある間違い

漸近線を $y = \pm \frac{1}{2} x$ から $x \mp 2 y = 0$ に直すとき、距離公式の分母 $1^{2} + 2^{2} = 5$ を $3$ 等と誤る。
絶対値の積 $∣ x - 2 y ∣∣ x + 2 y ∣ = ∣ x^{2} - 4 y^{2} ∣$ の処理で、双曲線の左枝( $x < 0$ )を別扱いし始める(絶対値のまま方程式を代入すれば枝によらない)。
$x^{2} - 4 y^{2} = 1$ とする( $\frac{x ^{2}}{4} - y^{2} = 1$ の両辺4倍で $4$ 。定数の掛け忘れ)。