数学C / 平面上の曲線

共焦点の楕円と双曲線の直交

最難関編焦点接線の直交

問題

楕円 $\frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ と双曲線 $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{y ^{2}}{2} = 1$ を考える。

(1) 2つの曲線の焦点が一致することを示せ。

(2) 2つの曲線は4つの交点をもつ。各交点において、楕円の接線と双曲線の接線が直交することを示せ。

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焦点の計算は符号の規約(引くか足すか)に注意。交点は2式の連立で具体的に出る — 接線は公式で書けるから、傾きの積を交点の座標の関係式で評価すればよい。

解答・解説

方針

(1)は c²=a²−b²(楕円)と c²=a²+b²(双曲線)の計算。(2)は連立して交点 (±2, ±√2) を求め、接線の公式(x₀x/8+y₀y/4=1 と x₀x/2−y₀y/2=1)から傾きを出して積が −1 になることを確かめる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)は焦点の公式の確認だ。楕円は $c^{2} = a^{2} - b^{2} = 8 - 4 = 4$ 、双曲線は $c^{2} = a^{2} + b^{2} = 2 + 2 = 4$ — 引く側と足す側で同じ $4$ になり、焦点 $(\pm 2, 0)$ が一致する。

(2)は正面から: 2式を連立して交点 $(\pm 2, \pm 2)$ を求め、接線の公式( $\frac{x _{0} x}{8} + \frac{y _{0} y}{4} = 1$ と $\frac{x _{0} x}{2} - \frac{y _{0} y}{2} = 1$ )から傾きを出して、積が $- 1$ を確かめる。

対称性から、4つの交点のうち1つで確かめれば、残りは符号の反転で同じ計算になる。

公式接線: 楕円

\frac{x _{0} x}{a ^{2}} + \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1

、双曲線

\frac{x _{0} x}{a ^{2}} - \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1

。焦点: 楕円

c^{2} = a^{2} - b^{2}

、双曲線

c^{2} = a^{2} + b^{2}

① 焦点の一致((1))。 楕円: $c^{2} = 8 - 4 = 4$ → 焦点 $(\pm 2, 0)$ 。双曲線: $c^{2} = 2 + 2 = 4$ → 焦点 $(\pm 2, 0)$ 。一致する。

② 交点を求める。 双曲線の式から $x^{2} - y^{2} = 2$ 。楕円の式(×8)から $x^{2} + 2 y^{2} = 8$ 。差をとって $3 y^{2} = 6$ 、 $y^{2} = 2$ 、 $x^{2} = 4$ :

$(x, y) = (\pm 2, \pm 2) (複号任意、 4 点)$

③ 接線の傾きの積((2))。 交点 $(x_{0}, y_{0})$ ( $x_{0} y_{0} \neq = 0$ )で、接線の公式から傾きは

$m_{1} = - \frac{x _{0} /8}{y _{0} /4} = - \frac{x _{0}}{2 y _{0}} (楕円), m_{2} = \frac{x _{0} /2}{y _{0} /2} = \frac{x _{0}}{y _{0}} (双曲線)$

$m_{1} m_{2} = - \frac{x _{0}^{2}}{2 y _{0}^{2}} = - \frac{4}{2 \cdot 2} = - 1$

( $x_{0}^{2} = 4, y_{0}^{2} = 2$ を代入。)よって4つの交点すべてで2接線は直交する。

同じ焦点(±2, 0)をもつ楕円(青)と双曲線(黒)。4つの交点(赤)で2曲線は直角に交わる

まとめ: 「焦点を共有する楕円と双曲線は直角に出会う」— 焦点半径の反射性質(楕円は等角に反射、双曲線は等角に発散)を思えば、2曲線の接線が入射・反射の2等分線どうしになっている、という光学的な説明もつく。計算では $x_{0}^{2}, y_{0}^{2}$ の値が積 $- 1$ をぴったり作る瞬間が見どころだ。

発展 — 一歩先へ。 焦点 $(\pm 2, 0)$ を共有する楕円と双曲線を全部描くと、平面が2つの曲線族の直交する網の目(直交曲線族)で覆われる。これは「楕円座標」と呼ばれる座標系で、熱の等温線と熱流の線、電場の等電位線と電気力線のように、「レベルの線と流れの線が直交する」物理の構図がこの網の目そのものになっている。

答

(1) ともに $(\pm 2, 0)$ (2) 交点 $(\pm 2, \pm 2)$ で接線の傾きの積が $- 1$ (証明)

別解

反射性質どうしの直交(計算のない一般証明)。 交点の座標も接線の傾きも計算せずに、(2)をすべての共焦点ペアで示せる。

楕円の反射性質: 接線は、2本の焦点半径 $PF_{1}, PF_{2}$ のなす角の外角を二等分する(焦点からの光が反対の焦点へ反射する)。
双曲線の反射性質: 接線は、同じ2本の焦点半径のなす角の内角を二等分する。

交点 $P$ では、2曲線が同じ2本の線分 $PF_{1}, PF_{2}$ を共有している。そして、同じ角の内角二等分線と外角二等分線はつねに直交する(2つの二等分線のなす角は $\frac{内角 + 外角}{2} = 9 0^{\circ}$ )。

よって、楕円の接線と双曲線の接線は直交する — 焦点が同じでありさえすれば、どの楕円とどの双曲線の組でも成り立つ。本解の傾きの積 $- 1$ は、この一般的な事実の座標による検証だったのだ。

ポイント

$c^{2}$ : 楕円 $8 - 4$ 、双曲線 $2 + 2$ — ともに焦点 $(\pm 2, 0)$ 。
交点は $(\pm 2, \pm 2)$ (連立の差)。
$m_{1} m_{2} = - \frac{x _{0}^{2}}{2 y _{0}^{2}} = - 1$ (直交)。

よくある間違い

双曲線の焦点を $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ で計算してしまう(双曲線は足す: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ )。
接線の公式の符号(双曲線は $\frac{x _{0} x}{2} - \frac{y _{0} y}{2} = 1$ とマイナス)を楕円と混同する。
1つの交点で確かめただけで「4交点すべて」と述べる(対称性で移り合うことの一言を添える)。