直交座標から極座標へ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 今度は逆向きの変換だ。直交座標 → 極座標。

$2$ つの量を求める。

① 原点からの距離 $r$。

$$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$$

② 偏角 $\theta$。

$$\tan \theta =\frac{y}{x}=\frac{1}{1}=1$$

$\tan \theta =1$ となる角は、$\frac{\pi }{4}$ と $\frac{5\pi }{4}$ の $2$ つある。

どちらか。

点 $(1,1)$ は、第 $1$ 象限にある($x>0$、$y>0$)。

だから $\theta =\frac{\pi }{4}$。

$$\left(\sqrt{2},\frac{\pi }{4}\right)$$

「$\tan$ の値だけでは、偏角は決まらない」

$\tan$ は $\pi$ 周期なので、$2$ つの候補が出る。

必ず象限を確認して、正しいほうを選ぶ。 これが最大の注意点だ。

① 距離を求める。 $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。

② 偏角を求める。 点 $(1,1)$ は第 $1$ 象限。$\tan \theta =\frac{1}{1}=1$ より $\theta =\frac{\pi }{4}$。

$$(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$$

まとめ:直交 → 極は「距離 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ と角 $\theta$」。角は $\tan \theta =\frac{y}{x}$ だが、どの象限かを見て確定する(第 $1$ 象限なら $\frac{\pi }{4}$)。極座標 ⇔ 直交座標は行き来できる。

発展 — 一歩先へ。 極座標は、$3$ 次元にも拡張できる。

球面座標。

$$x=r\sin \varphi \cos \theta$$ $$y=r\sin \varphi \sin \theta$$ $$z=r\cos \varphi$$

• $r$: 原点からの距離
• $\varphi$: $z$ 軸からの角(天頂角)
• $\theta$: $xy$ 平面での角(方位角)

この座標系は、地球儀そのものだ。

• $r$: 地球の半径
• $\varphi$: 緯度(に相当)
• $\theta$: 経度

「緯度・経度」という、$2$ つの角度で地球上の位置を表す。

まさに球面座標である。

そして、この座標系は、物理学で圧倒的に使われる。

なぜか。「原点からの距離」が主役の問題が多いからだ。

重力: $F\propto \frac{1}{r^2}$

クーロン力(電気): $F\propto \frac{1}{r^2}$

どちらも、距離 $r$ だけで決まる(方向によらない)。

こういう「中心力」の問題は、球面座標で扱うと、方程式が劇的に簡単になる。

水素原子の電子軌道。

シュレーディンガー方程式を、球面座標で解く。

すると、電子の存在確率が、美しい形をとることが分かる。

• $s$ 軌道: 球状
• $p$ 軌道: ダンベル状($3$ 方向)
• $d$ 軌道: 四つ葉のクローバー状

化学の教科書で見た、あの電子軌道の絵。

あれは、球面調和関数という、球面座標の解から出てくる。

「原子の形」が、座標系の選択から導かれる。

さらに、宇宙の観測でも使われる。

宇宙背景放射(ビッグバンの名残の光)は、全天球にわたって観測される。

そのわずかな温度のゆらぎを、球面調和関数で分解する。

そこから、宇宙の年齢、物質の量、宇宙の形が読み取れる。

「宇宙は、ほぼ平坦」「年齢は $138$ 億年」 — これらの結論は、球面座標での解析から出ている。

座標系の選択は、単なる計算の便宜ではない。

「問題の対称性に合った座標を選ぶ」ことで、隠れていた構造が見えてくる。

直交座標が向いている問題(直線的なもの)。 極座標が向いている問題(回転対称なもの)。 球面座標が向いている問題(中心対称なもの)。

$(1,1)\to \left(\sqrt{2},\frac{\pi }{4}\right)$

この、$2$ 次元の座標変換。

その延長線上に、原子の形があり、宇宙の姿がある。

これで、高校数学の全課程が終わる。

ここまで学んできた道具 — 関数、微分、積分、ベクトル、複素数、そして座標 — は、すべて「世界を記述する言語」だ。

その言語で、あなたは何を語るだろうか。

別解

図を描けば、象限の間違いは起きない。

点 $(1,1)$ を、座標平面に打つ。

原点から、この点へ矢印を引く。

横に $1$、縦に $1$。

この矢印は、右上 $45^{\circ }$ の方向を向いている。

$$\theta =45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$$

そして、矢印の長さは、直角二等辺三角形の斜辺。

$$r=\sqrt{2}$$

図から、両方とも読み取れた ✓

では、なぜ「象限の確認」がそれほど大事なのか。

危険な例を見てみよう。

点 $(-1,-1)$ の極座標を求めよ。

$\tan \theta =\frac{-1}{-1}=1$

$\tan \theta =1$ — この問題とまったく同じ値だ!

だが、点の位置はまるで違う。

$(-1,-1)$ は、第 $3$ 象限(左下)にある。

正しい偏角は

$$\theta =\frac{5\pi }{4}(=225^{\circ })$$

$\frac{\pi }{4}$($45^{\circ }$)ではない!

もし $\tan$ の値だけを見て $\frac{\pi }{4}$ と答えたら、まったく反対側の点を指してしまう。

「$\tan$ が同じでも、点は $2$ つある」

$\tan$ は $180^{\circ }$ ごとに同じ値を繰り返すからだ。

この落とし穴は、電卓やプログラムでも問題になる。

$\arctan$ 関数は、$-90^{\circ }$ から $90^{\circ }$ の値しか返さない。

だから、第 $2$、第 $3$ 象限の点を入れると、間違った角度が返ってくる。

そこで、プログラミングでは $atan2(y,x)$ という特別な関数を使う。

$x$ と $y$ を別々に渡すことで、符号の組み合わせから、正しい象限を判定してくれる。

$$atan2(1,1)=45^{\circ }$$ $$atan2(-1,-1)=-135^{\circ }(=225^{\circ })$$

「$\frac{y}{x}$ を計算してから渡す」と、情報が失われる。

($\frac{1}{1}$ も $\frac{-1}{-1}$ も、同じ $1$ になってしまう。)

「割り算をした瞬間に、符号の情報が消える」

この教訓は、数学でもプログラミングでも同じだ。

必ず、$x$ と $y$ の符号を、別々に確認する。

$4$ つの象限と偏角の範囲。

• 第 $1$ 象限($+,+$): $0<\theta <\frac{\pi }{2}$
• 第 $2$ 象限($-,+$): $\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$
• 第 $3$ 象限($-,-$): $\pi <\theta <\frac{3\pi }{2}$
• 第 $4$ 象限($+,-$): $\frac{3\pi }{2}<\theta <2\pi$

この対応を確認してから、$\theta$ を決める。

図を $1$ つ描く手間が、致命的なミスを防いでくれる。