2次曲線の分類

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 次曲線の見分けは、$x^2$ と $y^2$ の係数の符号を見るだけでよい。

• 両方プラスで和の形($=1$)— 楕円(分母が等しければ円)
• プラスとマイナスの差の形 — 双曲線
• 片方だけが $2$ 次(もう片方は $1$ 次)— 放物線

(1) は和 → 楕円、(2) は差 → 双曲線、(3) は $y$ が $1$ 次・$x$ が $2$ 次 → 放物線。「$2$ 乗の顔ぶれ」で三択が決まる。

(1) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$:$x^2$ も $y^2$ も係数が正で和 $=1$。→ 楕円($y$ 側の分母が大きいので縦長)。

(2) $x^2-y^2=1$:$x^2$ が $+$、$y^2$ が $-$ の差。→ 双曲線。

(3) $y=x^2-2x$:$x$ は $2$ 次だが $y$ は $1$ 次(片方だけ $2$ 次)。→ 放物線。

まとめ:$2$ 次曲線の見分けは「$x^2$ と $y^2$ の符号」。両方同符号(和)なら楕円、異符号(差)なら双曲線、どちらか一方しか $2$ 乗がないなら放物線。まず項を見て、符号で仲間分けするのが速い。

発展 — 一歩先へ。 離心率 $e$ でも $3$ 種は一列に並ぶ: $e=0$(円)、$0<e<1$(楕円)、$e=1$(放物線)、$e>1$(双曲線)— 切り角の連続変化が、$1$ つの数の大小に翻訳される。彗星の軌道が「楕円(回帰する)か双曲線(二度と戻らない)か」は、この $e$ が $1$ を超えるかどうかの判定である。

$xy$ 項を含む一般の $2$ 次式 $a{x}^2+bxy+c{y}^2+\cdots =0$ でも、判別式 $b^2-4ac$ の符号で同じ三択が決まる(負=楕円系、$0$=放物線系、正=双曲線系)— $2$ 次方程式の判別式と同じ形が、曲線の分類にも現れる。

別解

$3$ 種の曲線がなぜ「ひとまとめに」学ばれるのか — 円錐の切り口という共通の出自を知ると、分類の意味が変わる。

上下 $2$ つの円錐(砂時計の形)を平面で切る。切る角度によって

• 浅く切る(底面に近い角度): 切り口は閉じて 楕円(真横なら円)
• 円錐の斜面(母線)とちょうど平行に切る: 閉じ切らず開いた 放物線
• さらに深く切る(上下両方の円錐に当たる): $2$ 枝の 双曲線

$3$ 種は別々の生き物ではなく、同じ円錐の切り方の連続変化 — だから「円錐曲線」と総称される。放物線は楕円と双曲線の「境目の一瞬」に現れる曲線だ。

式の側の分類(係数の符号)は、この切り角の違いの代数的な影にすぎない。懐中電灯の光の輪を壁に当てて傾けていくと、円 → 楕円 → 放物線 → 双曲線と実演できる — 分類の丸暗記が、$1$ つの絵になる。