媒介変数表示から直交座標へ(放物線)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 媒介変数表示から $x,y$ の方程式へ — 仕事は $t$ の消去だ。

$x=t+1$ を $t$ について解くと $t=x-1$。これを $y=t^2$ に代入して

$$y=(x-1{)}^2$$

頂点 $(1,0)$ の放物線。$t$ が全実数を動くとき $x=t+1$ も全実数を動くので、放物線の全体が軌跡になる(範囲の欠けなし)— 消去した後に変数の動く範囲を一言確認するのが作法である。

① $t$ を $x$ で表す。 $x=t+1$ より $t=x-1$。

② $y$ に代入する。

$$y=t^2=(x-1{)}^2$$

これは頂点 $(1,0)$ の放物線。

まとめ:三角関数でない媒介変数は、$t=(x\text{ の式})$ を作って代入するのが基本。$\cos ,\sin$ のときだけ ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ を使う。ここは $t=x-1$ を $y=t^2$ に入れて $y=(x-1{)}^2$、平行移動した放物線になる。

発展 — 一歩先へ。 $t$ が消去できるのは今回のような易しい形だけで、サイクロイド($x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$)のように消去不可能な曲線こそ媒介変数表示の主戦場だ。「消せないから媒介変数のまま扱う」— 接線(dy/dx を dy/dt ÷ dx/dt で)や面積も、$t$ のまま計算する技術が数IIIで待っている。

範囲の欠けの実例もひとつ: $(x,y)=(\cos t,\cos 2t)$ は消去すると $y=2x^2-1$ だが、$x=\cos t$ は $[-1,1]$ しか動かない — 軌跡は放物線の一部分。消去した式は「候補の曲線」であり、範囲の検分をして初めて「軌跡」になる。

別解

消去の前に、数表で点を打って曲線の正体を先に見てしまう手がある。

$t$ に小さい値を順に入れる。

• $t=-1$: $(0,1)$
• $t=0$: $(1,0)$
• $t=1$: $(2,1)$
• $t=2$: $(3,4)$

打った $4$ 点を眺めると、$(1,0)$ を底にした放物線の形 — $y=(x-1{)}^2$ と予想でき、$4$ 点すべてが乗ることも代入で確かめられる。あとは消去計算(本解)で裏付ければよい。

媒介変数の意味も添えたい。$t$ を時刻と読むと、$(x,y)=(t+1,t^2)$ は「点の運動のスケジュール」— $x$ 方向へ等速、$y$ 方向へ加速しながら動く点の軌跡が、この放物線だ。$t$ の消去は「時刻の情報を捨てて、通り道だけを残す」操作である。

逆は一意でない — 同じ放物線に $(t^2+1,t^4)$ など別のスケジュールも張り付けられる(ただしこれは右半分しか動かない)。「軌跡は同じでも動き方は無数」— 媒介変数表示の自由さと、範囲の確認が要る理由が、ここでつながる。