焦点距離の公式と離心率・準線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)は距離の式を2乗して、楕円の式で $y^2$ を消すのが定石だ。${\mathrm{PF}}^2=(x-1{)}^2+y^2$ に $y^2=3\left(1-\frac{x^2}{4}\right)$ を入れると、$x$ の2次式がぴったり完全平方に畳まれる。

根号を外すときは符号の検分($-2\le x\le 2$ で $2-\frac{x}{2}>0$)を忘れずに。

(2)は $\mathrm{PH}=4-x$ との比をとるだけ。$x$ が約分されて定数 $\frac{1}{2}$ が残る — 焦点からの距離と準線からの距離の比が一定、という円錐曲線の統一的な顔(離心率)が現れる。

① ${\mathrm{PF}}^2$ を計算する((1))。 $a=2,b^2=3,c=1$。楕円の式から $y^2=3\left(1-\frac{x^2}{4}\right)$ を代入して

$${\mathrm{PF}}^2=(x-1{)}^2+y^2=x^2-2x+1+3-\frac{3}{4}{x}^2=\frac{x^2}{4}-2x+4={\left(\frac{x}{2}-2\right)}^2$$

② 根号を外す。 楕円上では $-2\le x\le 2$ だから $2-\frac{x}{2}\ge 1>0$。よって

$$\mathrm{PF}=\left|\frac{x}{2}-2\right|=2-\frac{x}{2}$$

③ 比をとる((2))。 $\mathrm{H}(4,y)$ より $\mathrm{PH}=4-x>0$。

$$\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}=\frac{2-\frac{x}{2}}{4-x}=\frac{\frac{1}{2}(4-x)}{4-x}=\frac{1}{2}$$

— $\mathrm{P}$ の位置によらず一定で、値は離心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ に一致する。

まとめ: 「距離は2乗 → 曲線の式で消去 → 完全平方」— 焦点だけがこの畳み込みを起こす特別な点で、副産物の $\mathrm{PF}=a-ex$ は焦点弦の計算などで万能に効く。比が一定($=e$)という見方は放物線($e=1$)・双曲線($e>1$)まで貫く、2次曲線の統一原理だ。

発展 — 一歩先へ。 比 $\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}=e$ を逆に定義に採用すると、$0<e<1$ で楕円、$e=1$ で放物線、$e>1$ で双曲線と、3曲線が1本の式 $\mathrm{PF}=e\mathrm{PH}$ から生まれる(焦点・準線による統一定義)。極座標で書いた $r=\frac{\ell }{1+e\cos \theta }$ は惑星の軌道の式そのもので、離心率 $e$ は軌道の「つぶれ具合」を測る天文学の実用量だ。

別解

パラメータ表示なら完全平方が自然に出る。 $\mathrm{P}(2\cos \theta ,\sqrt{3}\sin \theta )$ とおいて距離を直接計算する。

$${\mathrm{PF}}^2=(2\cos \theta -1{)}^2+3{\sin }^2\theta =4{\cos }^2\theta -4\cos \theta +1+3-3{\cos }^2\theta ={\cos }^2\theta -4\cos \theta +4=(\cos \theta -2{)}^2$$

$\cos \theta \le 1<2$ だから $\mathrm{PF}=2-\cos \theta$。$x=2\cos \theta$ を戻せば $\mathrm{PF}=2-\frac{x}{2}$ — 本解と同じ式に、絶対値の心配なく着地する。

(2)も $\mathrm{PH}=4-2\cos \theta =2(2-\cos \theta )$ で、比は見た瞬間に $\frac{1}{2}$。

座標のまま2乗する(本解)か、角 $\theta$ で1変数化するか。楕円の計算では「迷ったらパラメータ表示」が効く場面が多い — 三角関数の恒等式が、平方完成を肩代わりしてくれるからだ。