数学C / 平面上の曲線

楕円の焦点距離の和

★★ 標準楕円

問題

楕円 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 上の点 $P$ から、 $2$ つの焦点 $F$ 、 $F^{'}$ までの距離の和 $PF + PF^{'}$ を求めよ。

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楕円が「どんな点の集まり」として定義される図形だったかを思い出そう。定義がそのまま使えれば、座標計算はいらない。

解答・解説

楕円の定義: $2$ 焦点からの距離の和は一定で、長軸の長さ $2 a$ に等しい。 $a^{2} = 25$ なので $a = 5$ 。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 点 $P$ の位置は指定されていない — つまり「どこにいても同じ値になる」ことが答えの前提だ。それこそが楕円の定義である。

楕円 $=$ $2$ つの焦点からの距離の和が一定の点の集まり。その一定値は長軸の長さ $2 a$ 。

$a^{2} = 25$ より $a = 5$ 、よって

$PF + PF^{'} = 2 a = 10$

計算はほぼない — 「定義を知っているか」を聞いている問題である。

定理楕円の定義:

2

焦点からの距離の和は一定で

2 a

(長軸の長さ)に等しい

① 楕円の定義を思い出す。 楕円上のどの点 $P$ でも、 $PF + PF^{'} = 2 a$ (一定)。

② $a$ を読む。 $a^{2} = 25$ より $a = 5$ 。

$PF + PF^{'} = 2 a = 10$

楕円上の点Pから2焦点までの距離の和 PF+PF′=2a=10(一定)

まとめ:楕円は「 $2$ 点(焦点)からの距離の和が一定」の曲線。その和は長軸の長さ $2 a$ に等しい。 $P$ をどこにとっても変わらない。計算不要で、 $a$ を読むだけ。これが楕円の一番の性質だ。

発展 — 一歩先へ。 「和が一定」の応用は反射性質に化ける — 一方の焦点から出た光(音)は、楕円の壁で反射して必ずもう一方の焦点に集まる。ささやきの回廊(楕円形ホールの音響)や結石の破砕治療(衝撃波を焦点に集める)は、この性質の実用である。

逆向きの問題「 $PF + PF^{'} = 10$ を満たす点の軌跡を求めよ」に答えると、距離の式から楕円の方程式を導出する計算(根号を $2$ 回消す)になる — 定義 → 方程式の往復が、この単元の論証の背骨だ。

答

$10$

「本当にどこでも $10$ なのか」— 特別な点 $2$ か所で実測して、定義を体感してみよう。焦点は $c^{2} = 25 - 16 = 9$ から $(\pm 3, 0)$ 。

長軸の端 $(5, 0)$ : 焦点までの距離は $5 - 3 = 2$ と $5 + 3 = 8$ 。

$2 + 8 = 10 ✓$

短軸の端 $(0, 4)$ : 左右対称なので $2$ つの距離は等しく、それぞれ $3^{2} + 4^{2} = 5$ ( $3$ – $4$ – $5$ 三角形!)。

$5 + 5 = 10 ✓$

近い焦点と遠い焦点の配分( $2$ と $8$ 、 $5$ と $5$ )は点ごとに変わるのに、合計だけは常に $10$ — 糸の長さが変わらないまま、ペン先が動いている絵そのものだ。

答えを出すだけなら定義の $1$ 行で足りるが、 $2$ 点での実測を一度やっておくと「和が一定」という抽象的な定義が具体的な数の風景になる。検算の型としても、楕円の問題全般で使える。