楕円と直線が接する条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「接する」は「共有点がちょうど $1$ つ」$=$ 連立した $2$ 次方程式の判別式が $0$。

直線 $y=x+k$ を楕円の式に代入して、$x$ の $2$ 次方程式を作る。

その判別式 $=0$ を $k$ について解く。

まず代入して整理するのが第一手、と見通す。

① 代入して $2$ 次方程式に。 $y=x+k$ を $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ に代入する。

$$\frac{x^2}{4}+(x+k{)}^2=1$$

両辺を $4$ 倍して

$$x^2+4(x+k{)}^2=4⟹5x^2+8kx+4k^2-4=0$$

② 判別式 $=0$。

$$D=(8k{)}^2-4\cdot 5\cdot (4k^2-4)=64k^2-80k^2+80=-16k^2+80=0$$

③ $k$ を求める。 $16k^2=80$、$k^2=5$、$k=\pm \sqrt{5}$。

まとめ:楕円と直線が接する条件は「代入して $2$ 次方程式 → 判別式 $=0$」。$5x^2+8kx+4k^2-4=0$ の判別式が $-16k^2+80=0$ で $k=\pm \sqrt{5}$。$2$ 本の接線(上下)ができる。

発展 — 一歩先へ。 じつは楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ と直線 $y=mx+k$ が接する条件は、$k^2=a^2{m}^2+b^2$ という公式にまとまる。これは今回の判別式 $=0$ を一般の $a,b,m$ でやった結果だ。

$k$ が $\pm \sqrt{a^2{m}^2+b^2}$ の $2$ 値になるのは、傾き $m$ の接線が楕円の上下に $1$ 本ずつあるから。$k$ の符号が、接線が楕円のどちら側にあるかを表す。

「接する $=$ 判別式 $0$」は、曲線と直線が接するあらゆる場面で使える。放物線・双曲線・円でも、代入して $2$ 次方程式を作り、重解条件をとればよい。

別解

別解 — 楕円の接線公式 $k^2=a^2{m}^2+b^2$ で出す(得意な人向けの視点)。 判別式を毎回計算するかわりに、楕円と直線の接する条件の公式を使うと一発。

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ と直線 $y=mx+k$ が接する条件は

$$k^2=a^2{m}^2+b^2.$$

いまの楕円は $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ なので $a^2=4$、$b^2=1$。直線 $y=x+k$ は傾き $m=1$。代入して

$$k^2=4\cdot 1^2+1=5⟹k=\pm \sqrt{5}.$$

代入して判別式 $=0$ を解く本解と同じ $k=\pm \sqrt{5}$。この公式 $k^2=a^2{m}^2+b^2$ は、まさに判別式 $=0$ を一般の文字でやった結果。傾き $m$ が決まれば、接する $k$ が $2$ つ(上下の接線)すぐ出る。円 $x^2+y^2=r^2$ の $k^2=r^2(1+m^2)$ の楕円版だ。