極方程式(直線になる)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 辞書 $r\cos \theta =x$ がそのまま使える形 — 翻訳は $1$ 語で終わる。

$$r\cos \theta =2⟺x=2$$

$y$ 軸に平行な縦の直線だ。

極方程式の見た目($r$ と $\theta$ の絡んだ式)に身構える前に、「辞書の語がむき出しになっていないか」を最初に見る — この問題はその練習である。

$r\cos \theta =x$ をそのまま当てはめる。

$$r\cos \theta =2\Rightarrow x=2$$

これは $x=2$、すなわち $y$ 軸に平行な縦の直線。

まとめ:$r\cos \theta$ はそのまま $x$、$r\sin \theta$ はそのまま $y$ になる。だから $r\cos \theta =2$ は即 $x=2$(縦の直線)。$r$ を丸ごとかけたりせず、$r\cos \theta$ のかたまりに注目するのがコツ。

発展 — 一歩先へ。 円の $r=2\cos \theta$ と直線の $r\cos \theta =2$ — $\cos \theta$ の掛かる場所が違うだけで図形が一変する対比は、極方程式の読み方の良い教材だ。前者は「$\theta$ が開くと縮む」(原点に戻る円)、後者は「開くと伸びる」(無限遠へ逃げる直線)— $\cos \theta$ が分子か分母かで、風景が逆になる。

さらに $r=\frac{2}{1+\cos \theta }$ と分母に $1$ を足すと放物線に化ける — 円錐曲線の統一極方程式 $r=\frac{l}{1+e\cos \theta }$($e$ は離心率)の世界で、直線はその $e\to \infty$ の極限とみなせる。焦点から測る極座標では、円・楕円・放物線・双曲線が $1$ つの式の家族になる。

別解

翻訳に頼らず、式の意味を直接読むとこうなる。

$r\cos \theta$ は「原点から距離 $r$・角 $\theta$ の点の、横方向の成分」— つまり点の $x$ 座標そのものだ。式 $r\cos \theta =2$ は

「$x$ 座標が $2$ の点の集まり」

という日本語を極座標で書いただけ — 縦の直線 $x=2$ である。

$r=\frac{2}{\cos \theta }$ と変形した形でも風景が読める: $\theta =0$ で $r=2$(最短 — 原点から直線への垂線の足 $(2,0)$)、$\theta$ が開くほど $r$ は伸び、$\theta \to \pm \frac{\pi }{2}$ で $r\to \infty$(直線の彼方へ)。「垂線の足が最短で、角度が開くと遠ざかる」— 原点から直線を見た距離の風景が、$\frac{1}{\cos \theta }$ の形に写っている。

一般に、原点から距離 $d$・垂線の向き $\alpha$ の直線は $r\cos (\theta -\alpha )=d$。今回は $\alpha =0$ の特別な場合 — 直線の極方程式の標準形の入り口である。