数学C / 平面上の曲線

円の媒介変数表示

★ 基礎媒介変数表示

問題

媒介変数 $t$ を用いて $x = 2 cos t$ 、 $y = 2 sin t$ と表される曲線は、どのような図形か。

ヒントを見る

ゴールは $t$ を消すこと。 $cos t$ と $sin t$ の間にはいつでも成り立つ関係が $1$ つある。 $x$ と $y$ をそれぞれ $2$ 乗してみると、その関係が使える形になる。

解答・解説

方針

$x^{2} + y^{2}$ を計算する。 $cos^{2} t + sin^{2} t = 1$ を使うと、 $t$ が消えて直交座標の方程式になる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 媒介変数 $t$ で書かれた曲線。「 $t$ を消す」のが基本方針だ。

$x = 2 cos t, y = 2 sin t$

$t$ が消えれば、 $x$ と $y$ だけの関係式(曲線の方程式)が得られる。

どうやって消すか。

三角関数の最重要公式を使う。

$sin^{2} t + cos^{2} t = 1$

この形を作りたい。

$x$ と $y$ の式を、 $cos t$ と $sin t$ について解く。

$cos t = \frac{x}{2}, sin t = \frac{y}{2}$

$2$ 乗して足す。

$(\frac{x}{2})^{2} + (\frac{y}{2})^{2} = cos^{2} t + sin^{2} t = 1$

$\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{4} = 1 ⟹ x^{2} + y^{2} = 4$

原点中心、半径 $2$ の円だ。

「 $sin^{2} + cos^{2} = 1$ で $t$ を消す」 — 三角関数の媒介変数表示は、この一手で片づく。

重要媒介変数は

cos^{2} t + sin^{2} t = 1

を使って

t

を消し、直交座標の式にする

① $x^{2} + y^{2}$ を計算する。

$x^{2} + y^{2} = (2 cos t)^{2} + (2 sin t)^{2} = 4 cos^{2} t + 4 sin^{2} t = 4 (cos^{2} t + sin^{2} t) = 4$

② 図形を読む。 $x^{2} + y^{2} = 4$ は原点中心・半径 $2$ の円。

(2cos t, 2sin t) は原点中心・半径2の円

まとめ: $(2 cos t, 2 sin t)$ は半径 $2$ の円。媒介変数から図形を知るには「 $t$ を消す」。 $cos^{2} + sin^{2} = 1$ を使うのが定番。 $t$ は円周上の点の角度(回転角)を表している。

発展 — 一歩先へ。 媒介変数表示の真価は、「方程式で書けない曲線」を描けることだ。

サイクロイド。

円を、直線の上で滑らずに転がす。 円周上の $1$ 点が描く軌跡。

$x = a (t - sin t), y = a (1 - cos t)$

この曲線を、 $x$ と $y$ の方程式で書けるだろうか。

書けない。 $t$ を消去できないのだ( $t - sin t$ から $t$ を取り出せない)。

媒介変数でしか書けない曲線がある。

そして、このサイクロイドには、驚くべき性質がある。

最速降下曲線。

「 $2$ 点 $A$ 、 $B$ を結ぶ坂を作る。ボールが最も速く $A$ から $B$ へ転がり落ちる形は?」

直線ではない。

答えは、サイクロイド(を逆さにした形)だ。

$1696$ 年、ヨハン・ベルヌーイがこの問題を出題した。

ニュートン、ライプニッツ、ロピタルら、当時の一流数学者が挑み、全員が正解にたどり着いた。

(ニュートンは、 $1$ 晩で解いたという。)

なぜ、曲がった道のほうが速いのか。

最初に急降下することで、速度を稼ぐ。 その分、後半で距離を取り戻せる。

「急がば回れ」を、数学が証明した形だ。

さらに、サイクロイドには等時性という性質もある。

「サイクロイドの坂では、どの高さから落としても、底に着くまでの時間が同じ。」

ホイヘンスは、この性質を使って、正確な振り子時計を作ろうとした( $1673$ 年)。

普通の振り子は、振れ幅が大きいと周期がずれる。

だがサイクロイド振り子なら、振れ幅によらず周期が一定になる。

媒介変数表示は、こうした「複雑だが美しい曲線」を扱う言語だ。

他にも、たくさんある。

カージオイド(心臓形): $r = a (1 + cos θ)$ — マイクの指向性パターン
アステロイド(星芒形): $x = a cos^{3} t$ 、 $y = a sin^{3} t$
リサージュ曲線: $x = sin (a t)$ 、 $y = sin (b t + δ)$ — オシロスコープの画面

そして、 $3$ 次元では、螺旋(らせん)。

$x = cos t, y = sin t, z = t$

円運動しながら、まっすぐ上昇する。

DNA の二重らせんも、この形だ。

「 $x = 2 cos t$ 、 $y = 2 sin t$ 」という、いちばん簡単な媒介変数表示。

そこから、運動が、時間が、そして方程式では書けない美しい曲線たちが、姿を現す。

答

原点を中心とする半径 $2$ の円( $x^{2} + y^{2} = 4$ )

別解

媒介変数を「時間」と読んで、点の動きを追いかける。

方程式に直すだけでは、"消えてしまう情報"がある。

それは、「点がどう動くか」だ。

$t$ を時刻だと思って、点の位置を追ってみよう。

$t = 0 : (2 cos 0, 2 sin 0) = (2, 0)$

右端からスタート。

$t = \frac{π}{2} : (0, 2)$

上へ。

$t = π : (- 2, 0)$

左へ。

$t = \frac{3 π}{2} : (0, - 2)$

下へ。

$t = 2 π : (2, 0)$

右端に戻った。 $1$ 周した。

点は、半径 $2$ の円周上を、反時計回りに動いている。

そして、 $t$ が $2 π$ 進むごとに、 $1$ 周する。

これは、等速円運動だ。

「方程式 $x^{2} + y^{2} = 4$ 」では分からないこと。

どちら回りか(反時計回り)
どこから始まるか( $t = 0$ で $(2, 0)$ )
どれくらいの速さか(周期 $2 π$ )

媒介変数表示は、この"運動の情報"を保持している。

方程式は、点の軌跡(通った跡)しか教えてくれない。

「軌跡」と「運動」は、違う。

同じ円を描くのでも、こんな媒介変数表示もある。

$x = 2 cos (- t), y = 2 sin (- t) (時計回り)$

$x = 2 cos 2 t, y = 2 sin 2 t (2 倍の速さ)$

すべて、方程式は $x^{2} + y^{2} = 4$ で同じ。

だが、動きはまったく違う。

この違いが、物理では決定的に重要だ。

速度を計算してみよう。

$\frac{d x}{d t} = - 2 sin t, \frac{d y}{d t} = 2 cos t$

速さ(速度の大きさ)は

$(- 2 sin t)^{2} + (2 cos t)^{2} = 4 (sin^{2} t + cos^{2} t) = 2$

常に $2$ で一定! 等速だ。

そして、位置ベクトル $(x, y)$ と速度ベクトル $(\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t})$ の内積は

$2 cos t \times (- 2 sin t) + 2 sin t \times 2 cos t = 0$

内積 $0$ — 垂直だ!

「速度は、常に半径に垂直」

円運動の基本性質が、計算から出てきた。

さらに、加速度は

$\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} = - 2 cos t, \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} = - 2 sin t$

$a = - (x, y)$

「加速度は、常に中心を向いている」

これが向心加速度だ。

円運動を続けるには、常に中心向きの力(向心力)が必要 — 物理で習うこの事実が、媒介変数表示を微分するだけで導ける。

媒介変数は、単なる計算の道具ではない。

「時間とともに動く点」を記述する、運動の言語なのだ。

ポイント

$cos^{2} t + sin^{2} t = 1$ で $t$ を消す。
$(r cos t, r sin t)$ は半径 $r$ の円。

よくある間違い

$cos t = \frac{x}{2}$ の $2$ で割るのを忘れ、 $x^{2} + y^{2} = 1$ としてしまう。半径は $2$ なので $x^{2} + y^{2} = 4$
$sin t + cos t = 1$ と、 $2$ 乗を忘れた公式を使ってしまう。正しくは $sin^{2} t + cos^{2} t = 1$
半径を $4$ としてしまう。 $x^{2} + y^{2} = 4 = 2^{2}$ なので、半径は $2$