楕円が囲む面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ の面積は

$$S=\pi ab$$

— 円の面積 $\pi r^2$ の、半径 $2$ 種類版だ。$a=3$、$b=2$ を読み取って

$$S=\pi \cdot 3\cdot 2=6\pi$$

読み取りの注意はひとつ — 分母は $a^2,b^2$ なので、$9\to a=3$、$4\to b=2$ と平方根をとってから掛ける。

① $a,b$ を読む。 $a^2=9$、$b^2=4$ より $a=3$、$b=2$。

② 面積公式に入れる。

$$S=\pi ab=\pi \cdot 3\cdot 2=6\pi$$

まとめ:楕円の面積は $\pi ab$($a,b$ は半軸の長さ)。円 $\pi r^2$($a=b=r$)の自然な一般化だ。円を横に $\frac{a}{b}$ 倍引き伸ばした形と思えば、面積も同じ倍率で伸びると納得できる。

発展 — 一歩先へ。 面積は $\pi ab$ ときれいに閉じるのに、周の長さは $a\ne b$ の瞬間に初等関数で書けなくなる(楕円積分と呼ばれる新しい関数が要る — 「楕円」の名を冠する大きな数学の入り口)。同じ図形でも、量によって難しさが桁違いになる好例だ。

伸縮(アフィン変換)は面積を倍率の積で変える一方、角度や長さの比は壊す — 楕円に「焦点」の議論が要るのは、円の対称性が伸縮で失われるからでもある。何が保たれ何が壊れるかを意識すると、円の性質のどれが楕円に持ち上がるか(直径の中点の性質は残る、垂直は残らない)を見分けられるようになる。

別解

公式 $\pi ab$ の出どころを、伸縮の絵で手作りしてみよう。

単位円 $X^2+Y^2=1$(面積 $\pi$)から出発する。$x=3X$、$y=2Y$ と置き換える — つまり円を横に $3$ 倍、縦に $2$ 倍引き伸ばすと

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=X^2+Y^2=1$$

— ちょうどこの楕円になる。楕円とは「円を $2$ 方向に別々の倍率で伸ばした図形」だ。

面積は伸ばした倍率のぶん膨らむ: 横 $3$ 倍で面積 $3$ 倍、縦 $2$ 倍でさらに $2$ 倍 —

$$S=\pi \times 3\times 2=6\pi$$

(細かい正方形のタイルで円を敷き詰めた絵を想像すると、各タイルが $3\times 2$ の長方形に伸びる — 全体も $6$ 倍、と納得できる。)

$\pi ab$ は「円の $\pi \cdot 1\cdot 1$ を $a$ 倍・$b$ 倍したもの」— $a=b=r$ とすれば円の $\pi r^2$ に戻る。この伸縮の目は、楕円の面積を積分で求める問題(置換 $x=a\cos t$)や、斜めに切った円柱の断面積でも同じように働く。