極方程式が表す2次曲線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極方程式を直交座標に直す。使う置きかえは $r\cos \theta =x$ と $r=\sqrt{x^2+y^2}$。

まず分母を払って $r-r\cos \theta =2$ の形にする。すると $r\cos \theta =x$ が代入でき、$r=x+2$ になる。

残った $r$ を $\sqrt{x^2+y^2}$ で置いて $2$ 乗すれば、$x,y$ だけの式になる。放物線が出る、と見通す。

① 分母を払う。

$$r(1-\cos \theta )=2\Rightarrow r-r\cos \theta =2$$

② $r\cos \theta =x$ を代入。 $r-x=2$ より $r=x+2$。

③ $r=\sqrt{x^2+y^2}$ を代入して $2$ 乗。

$$x^2+y^2=(x+2{)}^2=x^2+4x+4$$

$x^2$ が消えて $y^2=4x+4$、すなわち

$$y^2=4(x+1)$$

頂点 $(-1,0)$ の放物線。

まとめ:$r=\frac{k}{1-\cos \theta }$ の形は放物線(離心率 $1$)。分母を払って $r\cos \theta =x$ を入れ、残った $r$ を $\sqrt{x^2+y^2}$ で置いて $2$ 乗すれば直交座標に直せる。原点が焦点になっているのが極方程式表示の特徴だ。

発展 — 一歩先へ。 得られた $y^2=4(x+1)$ は、頂点 $(-1,0)$、焦点が原点の放物線。極(原点)がちょうど焦点に一致するのが、この極形式のうまみだ。

分子の $2$ には意味がある。$\theta =\frac{\pi }{2}$ を入れると $r=\frac{2}{1-0}=2$。これは焦点から真上に伸ばした距離、つまり焦点を通り軸に垂直な弦(通径)の半分にあたる。

だから通径の全長は $2\times 2=4$ で、$y^2=4(x+1)$ の通径 $4$ と一致する。極形式の分子は、放物線の「太さ」をそのまま表していたわけだ。

別解

別解 — いくつかの点を打って形を読む(苦手な人向けの実験ルート)。 計算に入る前に、$\theta$ をいくつか代入して点を打ってみる。

$\theta =\pi$ のとき $r=\frac{2}{1-(-1)}=1$、点は $(-1,0)$。$\theta =\frac{\pi }{2}$ のとき $r=2$、点は $(0,2)$。$\theta =\frac{3\pi }{2}$ のとき $r=2$、点は $(0,-2)$。

原点にいちばん近い点が $(-1,0)$ で、そこから上下に開いていく。これは頂点 $(-1,0)$、右に開く放物線の形だ。

焦点は極すなわち原点 $(0,0)$。頂点から焦点までが $1$ だから、放物線は $y^2=4\cdot 1\cdot (x+1)$、つまり

$$y^2=4(x+1).$$

分母を払って代入する本解と同じ。点を打つと、頂点・開く向き・焦点の位置が目で見え、答えの放物線が先に見えてくる。