極方程式(円)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極方程式 $r=2$ を、日本語に翻訳しよう。

「$\theta$ が何であっても、$r$ は常に $2$」

つまり、「原点からの距離が、常に $2$」ということだ。

そんな点の集まりは?

原点を中心とする、半径 $2$ の円である。

$\theta$ が式に出てこないのが、ポイントだ。

$\theta$ をどう動かしても、$r$ は $2$ のまま。

角度を $0$ から $2\pi$ まで動かせば、点は円周を $1$ 周する。

直交座標で書けば

$$x^2+y^2=4$$

この式は、$x$ と $y$ の $2$ 文字が必要だった。

極座標なら、$r=2$ の $3$ 文字で終わり。

「円は、極座標のほうが圧倒的に簡潔」

原点まわりの対称性をもつ図形は、極座標と相性がよい。 これが、その典型例だ。

$r=2$ は「原点からの距離がつねに $2$」($\theta$ は $0$ から $2\pi$ まで自由)。これは原点を中心とする半径 $2$ の円。

(直交座標では $\sqrt{x^2+y^2}=2$、すなわち $x^2+y^2=4$。)

まとめ:極方程式で $r=(\text{定数})$ は円(原点中心)。$\theta =(\text{定数})$ なら原点を通る半直線。極座標では、直交座標より円や回転が簡単に表せることが多い。

発展 — 一歩先へ。 極座標を使うと、$2$ 次曲線がたった $1$ つの式で統一される。

焦点を原点(極)に置いた、$2$ 次曲線の極方程式。

$$r=\frac{\ell }{1+e\cos \theta }$$

• $\ell$: 半直弦(焦点を通る、軸に垂直な弦の半分)
• $e$: 離心率

この $1$ 本の式が、$e$ の値によって、$4$ つの曲線に化ける。

• $e=0$: $r=\ell$(定数)→ 円
• $0<e<1$: 楕円
• $e=1$: 放物線
• $e>1$: 双曲線

直交座標では、$4$ つの別々の方程式が必要だった。

$$y^2=4px,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

極座標なら、$1$ つ。

なぜ、これほど簡潔になるのか。

焦点を原点に置いたからだ。

$2$ 次曲線の本質は、「焦点からの距離」と「準線からの距離」の比($=e$)にあった。

焦点を座標の中心にすれば、その本質が、そのまま式になる。

「問題の構造に、座標を合わせる」

これが、座標系選びの極意だ。

そして、この式は、天体力学の基本方程式である。

ニュートンの万有引力の法則から、惑星の運動方程式を解くと、この式が出てくる。

$$r=\frac{\ell }{1+e\cos \theta }$$

太陽が原点(焦点)。惑星が、この曲線上を動く。

ケプラーの第 $1$ 法則(惑星の軌道は楕円で、太陽は $1$ つの焦点にある)が、$1$ 行で表現されている。

そして、$e$ の値が、天体の運命を決める。

• $e<1$: 楕円軌道 → 周回する(惑星、周期彗星)
• $e=1$: 放物線軌道 → ぎりぎり戻らない
• $e>1$: 双曲線軌道 → 二度と戻らない(恒星間天体)

ボイジャー $1$ 号は、$1977$ 年に打ち上げられ、木星と土星の重力を利用して加速した(スイングバイ)。

その結果、太陽系の脱出速度を超え、双曲線軌道に乗った。

$2012$ 年、人類が作った物体として初めて、太陽系を脱出した。

いまも、秒速 $17$ km で、恒星間空間を飛び続けている。

その軌道は、$e>1$ の双曲線。

$r=2$ という、いちばん簡単な極方程式。

その一般化が、$r=\frac{\ell }{1+e\cos \theta }$ であり、それが宇宙船の軌道を、惑星の運命を、記述している。

これが、$2$ 次曲線という、$2000$ 年前に生まれた数学の、現在地だ。

別解

直交座標に翻訳して、確かめる。

極座標と直交座標の関係。

$$r=\sqrt{x^2+y^2}$$

$r=2$ を代入する。

$$\sqrt{x^2+y^2}=2$$

両辺を $2$ 乗する。

$$x^2+y^2=4$$

中心が原点、半径 $2$ の円 ✓

本解と同じ答えだ。

「翻訳して確かめる」 — 極方程式を扱うときの、確実な検算法である。

さて、極方程式のバリエーションを見てみよう。

① $\theta =\frac{\pi }{4}$(定数)

「$r$ が何であっても、角度は $45^{\circ }$」

原点から $45^{\circ }$ の方向に、まっすぐ伸びる直線だ。

($r$ が負も許せば、反対側にも伸びる。)

直交座標では $y=x$。

② $r=2\cos \theta$

これは何だろうか。

$\theta =0$: $r=2$ → 点 $(2,0)$ $\theta =\frac{\pi }{3}$: $r=1$ → 点 $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $\theta =\frac{\pi }{2}$: $r=0$ → 原点

点を打っていくと、円のように見える。

直交座標に直そう。

両辺に $r$ を掛ける。

$$r^2=2r\cos \theta$$

ここで、$r^2=x^2+y^2$、$r\cos \theta =x$ を使う。

$$x^2+y^2=2x$$

$$x^2-2x+y^2=0$$

平方完成する。

$$(x-1{)}^2+y^2=1$$

中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円!

原点を通る円だ。

($r=2\cos \theta$ は、原点を通り、$x$ 軸上に中心をもつ円。)

「$r$ を掛けて、$r^2$ と $r\cos \theta$ の形を作る」

これが、極方程式を直交座標に直す常套手段だ。

$$r^2=x^2+y^2,r\cos \theta =x,r\sin \theta =y$$

この $3$ つの対応を使えるようにしておけば、たいていの極方程式は翻訳できる。

③ $r\cos \theta =2$

$r\cos \theta =x$ だから、これは $x=2$ — 縦の直線だ。

極座標でも、直線が書ける。

まとめよう。

• $r=$ 定数 → 円(原点中心)
• $\theta =$ 定数 → 直線(原点を通る)
• $r=2a\cos \theta$ → 円(原点を通る)
• $r\cos \theta =a$ → 直線($y$ 軸に平行)

同じ「円」でも、原点が中心か、円周上かで、式の形がまるで違う。

極座標では、「原点」が特別な役割を果たしている。

その特別さを活かせる問題でこそ、極座標は威力を発揮するのだ。