総合演習 融合パターン別

方程式・式の技

• 対称式・解と係数 × 数列 次数下げ・べき和・剰余の周期 30問(実戦編 14・最難関編 16)

  解と係数の関係や対称式を、漸化式・次数下げ・剰余の周期性と組み合わせて、高次の式の値を求める問題を集めました。

• 方程式 × グラフ 解の個数・解の配置・接線の本数 29問(実戦編 11・最難関編 18)

  方程式の解を「グラフの交点」に言いかえて数える問題です。定数分離、判別式、解の配置、接線の本数を扱います。

• 不等式・最大最小の技法 相加相乗・コーシー・シュワルツ・凸性 34問(実戦編 16・最難関編 18)

  相加相乗平均、コーシー・シュワルツの不等式、凸性、関数の設計など、どの分野でも使える不等式の技法を演習します。

• 和の工夫 望遠鏡和・部分分数分解 11問(実戦編 5・最難関編 6)

  差の形を作って途中の項を消す「望遠鏡和」を、根号・分数式・対数・積の形で使う問題です。

整数・数え上げ

• 整数 × 式の力 因数分解・二項定理・合同・桁数 15問(実戦編 9・最難関編 6)

  因数分解や二項定理を使って、整数の性質(素数・余り・桁数・平方和)を調べる問題を集めました。

• 整数 × 数列 ペル方程式・フィボナッチ・床関数 14問(実戦編 6・最難関編 8)

  数列の漸化式や評価を、整数の性質(整数部分・最大公約数・変わらない性質)と組み合わせる問題です。数学的帰納法を使う問題も含みます。

• 整数 × 論証 背理法・鳩の巣原理・偶奇 21問(実戦編 7・最難関編 14)

  背理法、鳩の巣原理、偶奇や余りによる場合分けで、「存在する」「存在しない」を示す問題です。答えの値を出すより、論証を組み立てる問題が中心です。

• 数え上げの発想 包除原理・1対1対応・二重数え 22問(実戦編 9・最難関編 13)

  1つずつ数えると手に負えない数え上げを、包除原理・1対1対応・二重数え・対称性で数える問題を集めました。

• 二項係数の恒等式 組合せ論法・微分・積分 13問(実戦編 8・最難関編 5)

  二項係数の和や積の等式を、組合せの意味・微分・積分・係数比較で示す問題です。確率や統計の証明で使う等式も含みます。

確率・統計

• 確率 × 数列・解析 確率漸化式・期待値・幾何確率 21問(実戦編 14・最難関編 7)

  確率を漸化式や状態の移り変わりで求める問題、期待値を数列の和に分けて求める問題、面積・体積で確率を求める幾何確率を集めました。

• データ・統計 × 式と不等式 判別式・最小二乗・評価 16問(実戦編 5・最難関編 11)

  分散や相関係数を、2次関数・判別式・不等式を使って調べる問題です。統計量の公式を証明する問題も含みます。

解析(極限・微分・積分)

• 数列の和 × 積分 区分求積・無限級数 11問(実戦編 6・最難関編 5)

  和の極限を定積分に読みかえる区分求積法の問題と、積分を使って級数の値を求める問題です。

• 極限 × 評価 はさみうち・漸近の読み取り 17問(実戦編 11・最難関編 6)

  直接は計算できない極限を、不等式ではさむ、漸化式の行き先を見当づける、いちばん影響の大きい項を見つける、といった評価で求める問題です。

• 微分・積分 × 数列 積分漸化式・n階導関数・関数方程式 14問(実戦編 6・最難関編 8)

  部分積分で漸化式を作る問題、n階導関数の規則を見つけて帰納法で示す問題、対称性を使って定積分を計算する問題など、微積分と数列を組み合わせる問題です。

• 積分 × 図形 面積・体積・曲線の長さ 24問(実戦編 14・最難関編 10)

  曲線が囲む面積、回転体や断面から求める立体の体積、曲線の長さなど、図形を式で表して積分で求める問題を集めました。

図形

• 平面図形の総合 円・三角形の定理と計量 21問(実戦編 11・最難関編 10)

  円周角・方べき・チェバ・メネラウスなどの図形の性質と、正弦定理・余弦定理・面積の計量を組み合わせる平面図形の総合問題です。

• 空間図形の総合 断面・展開・体積 21問(実戦編 10・最難関編 11)

  立体の断面をとる、展開して平面の問題にする、ベクトルで座標を入れる、という空間図形の3つの扱い方を演習します。

• 図形 × ベクトル 五心・面積比・存在範囲 16問(実戦編 8・最難関編 8)

  三角形の五心や面積比、点の存在範囲といった図形の問題を、ベクトルの内積と1次結合で言い換えて解きます。

• 軌跡・通過領域 パラメータ消去・存在条件 21問(実戦編 10・最難関編 11)

  動く点の軌跡、動く直線や円が通過する領域を求める問題です。多くの問題で、「その点を通るようなパラメータが存在するか」という条件に言いかえて解きます。

• 領域 × 最大・最小 存在条件への言い換え 15問(実戦編 6・最難関編 9)

  条件を領域として図示し、その上で式の最大・最小や面積を考える問題です。「=k とおいて共有点をもつ条件」の考え方を練習します。

複素数

• 複素数 × 三角関数 1のn乗根・ド・モアブル 15問(実戦編 15)

  1のn乗根とド・モアブルの定理を使って、三角比の値や和・積の等式を導く問題です。確率の数え上げに使う問題も含みます。

• 複素数 × 図形 回転・軌跡・正多角形 10問(実戦編 2・最難関編 8)

  複素数平面では回転を掛け算で表せます。これを使って、正多角形・垂心・変換による軌跡などの図形の問題を解きます。

力学の融合

• 運動量とエネルギー 衝突と振動をつなぐ 8問(応用 3・最難関編 5)

  衝突や分裂の直後を運動量保存で求め、そのあとの運動をエネルギー保存・単振動・放物運動で調べる問題です。衝突の瞬間とそのあとで、使う法則を切り替えます。

• 円運動・単振動 × 万有引力・浮力 向心力・復元力を重力や浮力から作る 16問(応用 8・最難関編 8)

  円運動の向心力や単振動の復元力が、万有引力や浮力から生じる問題です。エネルギー保存と組み合わせる問題も含みます。

• 単振動 × 力と運動 離れる・止まる・張力が急に変わる 3問(最難関編 3)

  単振動に、摩擦・垂直抗力・円運動の張力などの力の条件が加わる問題です。振動の式だけでは答えが出ず、力の条件を式にする必要があります。

• 熱と仕事・力学 力学的エネルギーと熱、気体と力 8問(応用 5・最難関編 3)

  力学的エネルギーが熱に変わる過程や、気体の圧力とばね・重力のつり合いなど、熱と力学を組み合わせる問題を集めました。

電磁気の融合

• 電磁気 × 力学 レール上の導体棒・電流が受ける力 11問(標準 4・応用 3・最難関編 4)

  電流が磁場から受ける力や電磁誘導の起電力を、運動方程式・力のつり合い・エネルギー保存と組み合わせる問題です。レール上を動く導体棒の問題が多く入っています。

• 電場・磁場中の荷電粒子 加速・偏向・円運動の連鎖 15問(標準 3・応用 8・最難関編 4)

  電場で加速し、電場や磁場で曲げる荷電粒子の運動を、電磁気の力と力学(放物運動・円運動)を組み合わせて調べる問題です。

原子・量子の融合

• 量子 × 古典物理 光子・物質波を力学・電磁気とつなぐ 10問(標準 3・応用 2・最難関編 5)

  光電効果・ボーア模型・ド・ブロイ波などの量子の考え方を、運動エネルギー・円運動・電場による加速といった古典物理と組み合わせる問題です。

このページの使い方

1. 見出しの「A × B」はその問題群で組み合わせる分野の型を表します。まず自分が弱いと感じる型から選んでください。
2. 問題は課程の学習順(数I → 数C → 物理基礎 → 物理)に並んでいます。数学は実戦編 → 最難関編、物理は標準 → 応用の順に難度が上がります。
3. 解答・解説は各問題のページで読めます。同じ問題は元の単元のページにも収録されています。