楕円の面積(円への1次変換)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 楕円は円を縦横に引き伸ばした図形。だから面積も、円の面積を引き伸ばした比だけ変える。

$X=\frac{x}{a}$、$Y=\frac{y}{b}$ とおくと、楕円は単位円 $X^2+Y^2=1$ に写る。この変換は横を $a$ 倍、縦を $b$ 倍に戻す(逆にいえば楕円は円を横 $a$・縦 $b$ 倍したもの)。

面積は縦横の倍率の積 $ab$ 倍。円の面積 $\pi$ に $ab$ を掛けて $\pi ab$。積分 $2{\int }_{-a}^{a}b\sqrt{1-x^2/a^2}dx$ でも同じ値になる。

① 単位円に写す。 $X=\frac{x}{a},Y=\frac{y}{b}$ とおくと $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=X^2+Y^2=1$。楕円の内部は単位円の内部に対応する。

② 面積比。 小さな長方形 $dXdY$ は $dxdy=adX\cdot bdY=abdXdY$ に写る。つまり面積は一律に $ab$ 倍。

③ 面積。 単位円の面積は $\pi$。よって楕円の面積は $$\pi \times ab=\pi ab.$$ (積分でも:${\int }_{-a}^{a}2b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx=2b\cdot \frac{\pi a}{2}=\pi ab$。)

まとめ 楕円は円を縦横に伸ばした図形で、面積は $ab$ 倍。円の面積 $\pi$ を掛けて $\pi ab$。曲線・1次変換(面積比)・積分の融合。

発展 — 一歩先へ。 「面積は $1$ 次変換の行列式倍」という原則は、円 $\to$ 楕円に限らない。任意の図形を行列 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ で写すと、面積は $|ad-bc|$ 倍。重積分の変数変換に現れるヤコビアンは、この“面積拡大率”を各点で測ったもの。楕円の面積 $\pi ab$ は、その最も簡単な応用例だ。

別解

別解 — 円を直接つぶす(1次変換の面積比を使う)。 積分も媒介変数も使わず、「楕円は円をつぶした図形」という見方だけで出す。

単位円 $X^2+Y^2=1$(面積 $\pi$)を、横に $a$ 倍・縦に $b$ 倍する変換 $x=aX$、$y=bY$ を施すと、楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ になる。

この $1$ 次変換の面積の拡大率は、変換行列 $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$ の行列式 $ab$。だから

$$(\text{楕円の面積})=ab\times (\text{単位円の面積})=ab\times \pi =\pi ab.$$

積分(本解)で確かめてもよいが、「面積は $1$ 次変換の行列式倍」という原則を知っていれば、楕円に限らず「円を斜めにつぶした図形」の面積も一瞬。行列式が面積の拡大率、という線形代数の基本がそのまま効く。