楕円の接線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 楕円上の点での接線には公式がある。

接点 $\left(\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ を、公式 $\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$ に代入するだけ。$a^2=4$、$b^2=1$ を確かめる。

「$2$ 次曲線の接線は専用公式に接点を代入」。放物線や円の接線と同じ発想を、楕円で使う。

① 公式に代入する。 $a^2=4$、$b^2=1$、$(x_1,y_1)=\left(\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$。

$$\frac{\sqrt{2}x}{4}+\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}y}{1}=1$$

② 整理する。 $\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ だから

$$\frac{x}{2\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}=1$$

両辺を $2\sqrt{2}$ 倍して $x+2y=2\sqrt{2}$。

まとめ:楕円の接線も「$x^2\to x_{1}x$、$y^2\to y_{1}y$」の置き換えでできる($\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$)。放物線・双曲線でも同じ発想。接点の座標を入れるだけで、微分せずに接線が求まるのが強みだ。

発展 — 一歩先へ。 接線公式 $\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$ には、点が楕円の外にあるときの意味もある。

点 $(x_1,y_1)$ が楕円の外にあると、そこから楕円へ接線が $2$ 本引ける。このとき同じ式 $\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$ が表すのは、$2$ つの接点を結ぶ直線だ。

点が楕円上に来ると、$2$ つの接点が重なって $1$ 本の接線になる。だから「接点を入れると接線、外の点を入れると接点どうしを結ぶ弦」と、$1$ つの式が両方を受けもつ。点と直線を対応させるこの見方は、極と極線と呼ばれる。

別解

別解 — 判別式で接線を出す(公式に頼らない汎用ルート)。 接線公式を覚えていなくても、接点を通る直線を楕円に代入し、重解条件から傾きを決められる。

接点 $\left(\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ を通り傾き $m$ の直線 $y=m(x-\sqrt{2})+\frac{1}{\sqrt{2}}$ を、$x^2+4y^2=4$(楕円の両辺 $4$ 倍)に代入する。整理すると $x$ の $2$ 次方程式になり、接する条件は判別式 $0$。

計算すると $(2m+1{)}^2=0$、すなわち $m=-\frac{1}{2}$。傾き $-\frac{1}{2}$ で接点を通る直線は

$$y=-\frac{1}{2}(x-\sqrt{2})+\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}x+\sqrt{2},$$

整理して $x+2y=2\sqrt{2}$。

公式に代入する本解と同じ接線。判別式 $=0$ の条件は、放物線でも双曲線でも円でも同じように使える。接線公式を思い出せないときの確実な逃げ道だ。