楕円の直交する2接線の交点の軌跡(準円)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交点 $(p,q)$ から楕円に接線を引く。この点を通る傾き $m$ の直線が楕円に接する条件を、$m$ の方程式にする。

直線 $y=m(x-p)+q$ が接する条件は判別式 $=0$ で、整理すると $m$ の2次方程式 $(p^2-a^2)m^2-2pqm+(q^2-b^2)=0$。この $2$ 解が $2$ 本の接線の傾きだ。

$2$ 接線が直交する条件は、傾きの積が $-1$。解と係数の関係で積 $=\frac{q^2-b^2}{p^2-a^2}=-1$ とおくと $p^2+q^2=a^2+b^2$、すなわち円になる。

① 接する条件を $m$ の2次に。 点 $(p,q)$ を通る直線 $y=m(x-p)+q=mx+(q-mp)$。接する条件 $c^2=a^2{m}^2+b^2$ に $c=q-mp$ を代入して $$(q-mp{)}^2=a^2{m}^2+b^2⟹(p^2-a^2)m^2-2pqm+(q^2-b^2)=0.$$ ② 傾きの積 $=-1$。 この $m$ の2次方程式の $2$ 解が $2$ 接線の傾き $m_1,m_2$。解と係数の関係から $$m_1{m}_2=\frac{q^2-b^2}{p^2-a^2}.$$ 直交条件 $m_1{m}_2=-1$ より $$\frac{q^2-b^2}{p^2-a^2}=-1⟹q^2-b^2=-(p^2-a^2)⟹p^2+q^2=a^2+b^2.$$

③ 軌跡。 よって交点 $(p,q)$ は $x^2+y^2=a^2+b^2$、すなわち原点中心・半径 $\sqrt{a^2+b^2}$ の円(準円)上にある。

まとめ 点を通る接線の傾きは $m$ の2次方程式の解。直交(傾きの積 $=-1$)を解と係数で書くと $p^2+q^2=a^2+b^2$、直交2接線の交点は円を描く。曲線(接線)・軌跡・解と係数の融合。

発展 — 一歩先へ。 直交 $2$ 接線の交点の軌跡(準円/director circle)は、楕円では $x^2+y^2=a^2+b^2$、放物線では準線、双曲線($a>b$)では $x^2+y^2=a^2-b^2$。$3$ 種の円錐曲線で「直交接線の交点」がそれぞれ美しい軌跡を描く。$a=b$ の楕円(円)なら準円は半径 $\sqrt{2}a$ の同心円だ。

別解

別解 — 円 $\times$ 円の「準円」を極端な場合で検算する(苦手な人にも見通しのよいルート)。 答え $x^2+y^2=a^2+b^2$(準円)が正しいか、特別な点で確かめる。

軸上の点 $(\sqrt{a^2+b^2},0)$ から楕円に $2$ 接線を引くと、対称性から $2$ 接線は $x$ 軸について対称。この $2$ 本が直交するには、それぞれが $x$ 軸と $45^{\circ }$ をなせばよい。

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ の傾き $1$ の接線は $y=x\pm \sqrt{a^2+b^2}$($k^2=a^2{m}^2+b^2$ に $m=1$)。この直線が $x$ 軸を切るのは $x=\pm \sqrt{a^2+b^2}$。つまり点 $(\sqrt{a^2+b^2},0)$ から傾き $\pm 1$ の直交する $2$ 接線が引ける。

準円上の代表点で「直交 $2$ 接線」が実現することが確かめられた。$a=b$(円)なら準円は半径 $\sqrt{2}a$ の同心円 — 円に外接する正方形の頂点の軌跡、という直感とも合う。