放物線の焦点弦(距離の逆数の和が一定)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 放物線上の点は $(p{t}^2,2pt)$ と媒介変数表示できる。焦点距離は、準線 $x=-p$ からの距離に等しい(放物線の定義)。

焦点距離は $p{t}^2-(-p)=p(t^2+1)$。$2$ 点 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ を $t_1,t_2$ とすると、$\frac{1}{\mathrm{FP}}+\frac{1}{\mathrm{FQ}}=\frac{1}{p(t_1^2+1)}+\frac{1}{p(t_2^2+1)}$。

焦点を通る弦の条件は $t_1{t}_2=-1$。これを使って和を計算すると、$t_1,t_2$ が消えて $\frac{1}{p}$(一定)になる。

① 焦点距離を媒介変数で。 $\mathrm{P}(p{t}_1^2,2p{t}_1),\mathrm{Q}(p{t}_2^2,2p{t}_2)$ とすると $$\mathrm{FP}=p(t_1^2+1),\mathrm{FQ}=p(t_2^2+1).$$ ② 焦点を通る条件。 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ を結ぶ直線が焦点 $(p,0)$ を通ると、$t_1{t}_2=-1$(焦点弦の性質)。

③ 和を計算する。 $$\frac{1}{\mathrm{FP}}+\frac{1}{\mathrm{FQ}}=\frac{1}{p(t_1^2+1)}+\frac{1}{p(t_2^2+1)}=\frac{1}{p}\cdot \frac{(t_2^2+1)+(t_1^2+1)}{(t_1^2+1)(t_2^2+1)}.$$ 分母を展開すると $(t_1^2+1)(t_2^2+1)=t_1^2{t}_2^2+t_1^2+t_2^2+1$。$t_1{t}_2=-1$ より $t_1^2{t}_2^2=1$ だから、分母 $=1+t_1^2+t_2^2+1=t_1^2+t_2^2+2$、分子 $=t_1^2+t_2^2+2$。約分して $$\frac{1}{\mathrm{FP}}+\frac{1}{\mathrm{FQ}}=\frac{1}{p}.$$ 弦の傾きによらず一定で、値は $\frac{1}{p}$。

まとめ 焦点距離は媒介変数で $p(t^2+1)$、焦点弦では $t_1{t}_2=-1$。この対称式で $\frac{1}{\mathrm{FP}}+\frac{1}{\mathrm{FQ}}=\frac{1}{p}$(半通径の逆数)。曲線(放物線・焦点)・媒介変数・対称式の融合。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{1}{\mathrm{FP}}+\frac{1}{\mathrm{FQ}}=\frac{1}{p}$ の右辺 $\frac{1}{p}$ は、放物線の半通径(焦点を通り軸に垂直な弦の半分)$2p$ の逆数の $2$ 倍。楕円・双曲線でも焦点弦について同様の一定値(半通径がらみ)が成り立つ。円錐曲線は「焦点からの距離」で統一的に記述でき(離心率)、この焦点弦の性質もその現れである。

別解

別解 — 焦点を極とする極方程式で一発(得意な人向けの高い視点)。 焦点 $\mathrm{F}$ を原点(極)にとると、放物線は極方程式 $r=\frac{2p}{1-\cos \theta }$ で書ける($r$ は焦点からの距離 $=$ 焦点距離)。

焦点を通る弦の $2$ 端 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ は、$\mathrm{F}$ から見て正反対の方向にある(偏角 $\theta$ と $\theta +\pi$)。だから

$$\frac{1}{\mathrm{FP}}+\frac{1}{\mathrm{FQ}}=\frac{1-\cos \theta }{2p}+\frac{1-\cos (\theta +\pi )}{2p}=\frac{(1-\cos \theta )+(1+\cos \theta )}{2p}=\frac{2}{2p}=\frac{1}{p}.$$

$\cos (\theta +\pi )=-\cos \theta$ で $\cos$ の項が打ち消し合い、$\theta$(弦の向き)が消えて $\frac{1}{p}$。

媒介変数 $t$ で $t_1{t}_2=-1$ を使う(本解)のと同じ結論だが、極方程式だと「正反対の $2$ 方向で $\cos$ が相殺」という形で、なぜ向きによらず一定かが一目で見える。$\frac{1}{\mathrm{FP}}+\frac{1}{\mathrm{FQ}}$ が一定なのは、円錐曲線の焦点弦に共通の性質(半通径がらみ)だ。