平行移動した放物線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(y-1{)}^2=4(x-2)$ — 基本形 $y^2=4px$ の $x$ を $x-2$、$y$ を $y-1$ に置き換えた形。つまり基本の放物線を $x$ 方向に $2$、$y$ 方向に $1$ 平行移動したものだ。

基本形 $y^2=4x$($p=1$)の頂点は原点、焦点は $(1,0)$。

平行移動では、頂点も焦点も同じだけずれる。頂点 $(2,1)$、焦点 $(3,1)$。「部品(頂点・焦点・準線)ごと引っ越す」のが平行移動の読み方である。

① もとの放物線を見る。 $(y-1{)}^2=4(x-2)$ は、$Y^2=4X$($X=x-2$、$Y=y-1$)。$4p=4$ なので $p=1$。

② もとの頂点・焦点。 $Y^2=4X$ の頂点は $(X,Y)=(0,0)$、焦点は $(1,0)$。

③ 平行移動して戻す。 $x=X+2$、$y=Y+1$ を加える。

$$\text{頂点}(2,1),\text{焦点}(2+1,1)=(3,1)$$

まとめ:$(y-k{)}^2=4p(x-h)$ は基本形 $y^2=4px$ を $(h,k)$ だけずらした形。頂点・焦点・準線もまるごと同じだけ平行移動すればよい。カッコの中の符号(引く)に注意($x-2$ なら右へ $2$)。

発展 — 一歩先へ。 数Iの $2$ 次関数 $y=a(x-p{)}^2+q$ の頂点の読みと、今回の $(y-1{)}^2=4(x-2)$ の読みは同じ「平行移動の文法」だ。違いは向き(横に開く)と、焦点・準線という新しい部品が増えたことだけ — 放物線は数Iからの持ち上がりで学べる、$2$ 次曲線の入り口である。

焦点の実用的意味も添えたい。放物線の内側に焦点から光を放つと、反射光はすべて軸に平行に飛ぶ(逆も然り)— パラボラアンテナ・懐中電灯の反射鏡は、この $1$ 点の位置がすべて。「焦点を求めよ」は工学の設計図の計算でもある。

別解

出した答えを、放物線の定義に戻して検分してみよう — 焦点だけでなく準線まで見える。

放物線は「焦点と準線から等距離の点の集まり」。基本形 $y^2=4x$ の準線 $x=-1$ も一緒に引っ越して、この放物線の準線は $x=1$ だ。

検分 $1$(頂点): 頂点は焦点と準線のちょうど中間にいるはず。焦点 $(3,1)$ と準線 $x=1$ の中間は $x=2$ — 頂点 $(2,1)$ と一致 ✓。

検分 $2$(曲線上の点): たとえば $y=3$ のとき $(y-1{)}^2=4$ から $x=3$ — 点 $(3,3)$。焦点までの距離は $\sqrt{0+4}=2$、準線 $x=1$ までの距離も $3-1=2$ — 等距離 ✓。

「頂点は焦点と準線の中点」「$p$ は頂点から焦点までの距離」— この位置関係を体に入れておくと、平行移動した式でも部品の配置が絵で描け、焦点の座標のずらし忘れ・ずらし過ぎに自分で気づける。