平面上の曲線の解説

平面上の曲線は、放物線・楕円・双曲線(2次曲線)の定義と方程式、曲線の媒介変数表示、極座標と極方程式を扱う単元です。数学IIの図形と方程式が「直線と円」までだったのを、円錐曲線と、別の座標系にまで広げます。この記事では、3つの2次曲線を「焦点」でつなげて理解する方法と、媒介変数・極座標の使いどころを説明します。

2次曲線は「焦点からの距離」で定義される

放物線は「焦点からの距離と準線からの距離が等しい点」、楕円は「2つの焦点からの距離の和が一定の点」、双曲線は「2つの焦点からの距離の差が一定の点」の集まりです。この定義から標準形の方程式が出てくるので、方程式を覚える前に、定義から式を導く計算を1度やっておくと、焦点の位置が記憶に残ります。

放物線 $y^2=4px$ は焦点 $(p,0)$、準線 $x=-p$ です。楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$($a>b$)は焦点 $(\pm c,0)$、$c=\sqrt{a^2-b^2}$ で、距離の和は $2a$ です。双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ は焦点 $(\pm c,0)$、$c=\sqrt{a^2+b^2}$ で、距離の差は $2a$、漸近線は $y=\pm \frac{b}{a}x$ です。楕円は $c^2=a^2-b^2$(引く)、双曲線は $c^2=a^2+b^2$(足す)、この違いが最も混同しやすい場所です。放物線の焦点と準線、楕円の焦点、双曲線の焦点と漸近線で確認し、標準の焦点距離の和と差で定義に戻る計算をしてください。

このサイトでは、放物線・楕円・双曲線の図に焦点・準線・漸近線を描き入れてあります。「焦点はどこか」を図で言えるようになることが、この単元の理解の目安です。

縦長・横長と平行移動

楕円が縦長のときは $a<b$ で、焦点は $y$ 軸上 $(0,\pm c)$、$c=\sqrt{b^2-a^2}$ です。放物線が $x^2=4py$ なら軸は $y$ 軸で、焦点は $(0,p)$ です。縦の放物線と縦長の楕円で、向きによる焦点の位置の違いを確認してください。

平行移動した2次曲線は、$x$ を $x-p$、$y$ を $y-q$ に置き換えます(標準の平行移動した放物線)。一般形 $a{x}^2+b{y}^2+cx+dy+e=0$ が表す曲線の種類は、平方完成して標準形に直せば判定できます(標準の2次曲線の分類)。

接線と直線との交点

2次曲線上の点 $(x_1,y_1)$ における接線は、$x^2$ を $x_{1}x$、$y^2$ を $y_{1}y$ に置き換える形で書けます(楕円なら $\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$)。円の接線と同じ規則です(標準の放物線の接線、応用の楕円の接線)。直線との交点は、連立して $x$ の2次方程式を作り、判別式で共有点の個数を判定します(応用の楕円と直線の交点、難関の接する条件)。

媒介変数表示

円 $x=r\cos t$、$y=r\sin t$、楕円 $x=a\cos t$、$y=b\sin t$ が基本の媒介変数表示です。${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$ に代入して $t$ を消去すると、元の方程式に戻ります(円の媒介変数表示、楕円)。$x=t+1$、$y=t^2$ のような表示から放物線を求める問題(標準の媒介変数表示から直交座標へ)や、2倍角の公式で $t$ を消す問題(応用の2倍角)は、「$t$ を消去して $x$、$y$ の関係式を作る」という1つの手順です。

サイクロイド $x=a(t-\sin t)$、$y=a(1-\cos t)$ は、円が直線上を転がるときの円周上の点の軌跡で、$t$ を消去できない曲線の代表です(応用のサイクロイド)。媒介変数のまま扱う練習になり、数学IIIの積分(弧長・面積)で再登場します。

極座標と極方程式

極座標 $(r,\theta )$ は、原点からの距離 $r$ と、$x$ 軸からの角 $\theta$ で点を表します。$x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$、$r^2=x^2+y^2$ で直交座標と行き来します(極座標から直交座標へ、直交座標から極座標へ)。

極方程式 $r=2\cos \theta$ は円、$r\cos \theta =2$ は直線 $x=2$ です。両辺に $r$ をかけたり、$x=r\cos \theta$ を代入したりして直交座標に直すと、正体がわかります(標準の極方程式(円になる)、直線になる)。$r=\frac{l}{1-e\cos \theta }$ の形は2次曲線で、$e$(離心率)の値で放物線・楕円・双曲線が決まります(応用の極方程式が表す2次曲線)。焦点を極に置くと、3種類の2次曲線が1本の式で書けるのは、この単元の美しい結果の1つです。

学習の順序と入試での出方

基礎12問で放物線・楕円・双曲線の焦点と漸近線、媒介変数表示、極座標の変換、極方程式の円を確認し、標準12問で平行移動、焦点からの決定、距離の和と差、分類、接線、面積、極方程式を扱い、応用8問で通径、直線との交点、サイクロイド、極方程式の2次曲線、2倍角の消去へ進みます。

入試では、2次曲線は数学IIIの微積分(接線・面積・弧長)と融合して出ます。実戦編には、楕円の面積(円への1次変換)、サイクロイドの弧長、カージオイドとアステロイドの面積、楕円の準円、放物線の焦点弦を、最難関編には、楕円の反射性質、離心率と準線、レムニスケート、共焦点の楕円と双曲線の直交など、円錐曲線の性質を深く扱う問題を集めました。