極座標から直交座標へ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極座標 $(r,\theta )$ とは、原点から距離 $r$、角度 $\theta$ の方向を表す座標だ。

直交座標への変換公式。

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$

この公式は、暗記するものではない。

単位円を思い出せば、当たり前だ。

半径 $r$ の円周上で、角 $\theta$ の位置にある点。 その座標は $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ である。

代入しよう。 $r=2$、$\theta =\frac{\pi }{3}$($=60^{\circ }$)。

$$x=2\cos 60^{\circ }=2\times \frac{1}{2}=1$$

$$y=2\sin 60^{\circ }=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$

$$(1,\sqrt{3})$$

検算。 原点からの距離が $2$ に戻るか。

$$\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=2✓$$

「距離と角度」から「縦と横」へ。 それが極座標から直交座標への変換である。

$r=2$、$\theta =\frac{\pi }{3}$。$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$、$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$$x=2\cos \frac{\pi }{3}=2\cdot \frac{1}{2}=1,y=2\sin \frac{\pi }{3}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$

$$(1,\sqrt{3})$$

まとめ:極座標 $(r,\theta )$ は「原点からの距離 $r$、$x$ 軸からの角 $\theta$」。直交座標へは $x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$。三角比の値を正確に。$(2,\frac{\pi }{3})$ は $(1,\sqrt{3})$。

発展 — 一歩先へ。 極座標が真価を発揮するのは、「原点まわりの対称性」がある図形だ。

美しい曲線を、いくつか見てみよう。

カージオイド(心臓形)。

$$r=a(1+\cos \theta )$$

ハートのような形になる。

この曲線は、マイクの指向性パターンとして使われる。

「正面からの音は拾い、後ろからの音は拾わない」 — カーディオイドマイクという名前で、実際に売られている。

($\theta =\pi$(真後ろ)で $r=0$ になる。後ろの音を拾わない。)

バラ曲線。

$$r=a\cos (n\theta )$$

$n$ が奇数なら $n$ 枚、偶数なら $2n$ 枚の花びらを描く。

$n=3$ なら $3$ 枚の花。 $n=2$ なら $4$ 枚の花。

直交座標で書こうとすると、悪夢のような式になる。 極座標なら $1$ 行だ。

アルキメデスの螺旋。

$$r=a\theta$$

「角度に比例して、距離が伸びる」

蚊取り線香、時計のぜんまい、レコードの溝 — この形をしている。

対数螺旋(等角螺旋)。

$$r=a{e}^{b\theta }$$

「回るごとに、距離が指数関数的に増える」

この螺旋は、自然界に満ちている。

• オウムガイの殻
• ヒマワリの種の配列
• 台風の渦
• 銀河の渦状腕

なぜ、これほど普遍的なのか。

「成長しても、形が変わらない」からだ。

オウムガイは、大きくなっても、殻の形は相似のまま。

この「自己相似性」をもつ螺旋は、対数螺旋だけである。

ヤコブ・ベルヌーイは、この曲線に魅せられ、自分の墓に刻ませようとした。

「同じでありながら、変化して蘇る」というラテン語の銘とともに。

(だが、石工が間違えて、アルキメデスの螺旋を刻んでしまったという逸話がある。)

極座標の威力は、天文学でも発揮される。

惑星の軌道(楕円)を、太陽を原点とする極座標で書くと

$$r=\frac{\ell }{1+e\cos \theta }$$

この $1$ 行で、円・楕円・放物線・双曲線のすべてが表せる。

離心率 $e$ の値を変えるだけだ。

直交座標では、$4$ 種類の別々の方程式が必要だった。

極座標なら、$1$ つの式で統一される。

「座標の選び方が、世界の見え方を変える」

$\left(2,\frac{\pi }{3}\right)=(1,\sqrt{3})$

この、単なる座標変換。

その先には、花びらと、渦巻きと、惑星の軌道を、たった $1$ 行で書く世界が広がっている。

別解

図で描けば、公式を使わずに答えが出る。

原点から、$60^{\circ }$ の方向に、長さ $2$ の矢印を引く。

その先端の座標を、読み取ればよい。

この矢印を斜辺とする、直角三角形を作る。

• 斜辺: $2$
• 角: $60^{\circ }$

$30^{\circ }$–$60^{\circ }$–$90^{\circ }$ の直角三角形だ!

辺の比は、$1:2:\sqrt{3}$。

• 斜辺 $=2$
• $60^{\circ }$ の向かい側(縦) $=\sqrt{3}$
• $30^{\circ }$ の向かい側(横) $=1$

だから、点の座標は $(1,\sqrt{3})$ ✓

三角比の値を暗記していなくても、この有名な三角形の比を知っていれば出せる。

さて、$1$ つ注意しておきたいことがある。

極座標の表し方は、$1$ 通りではない。

同じ点 $(1,\sqrt{3})$ を、こんなふうにも書ける。

$$\left(2,\frac{\pi }{3}\right),\left(2,\frac{\pi }{3}+2\pi \right),\left(2,\frac{\pi }{3}-2\pi \right),\dots$$

$\theta$ に $2\pi$ の整数倍を足しても、同じ点だ。($1$ 周して戻るから。)

さらに、$r$ を負にすることも許す流儀では

$$\left(-2,\frac{\pi }{3}+\pi \right)$$

($-2$ は「反対向きに $2$ 進む」という意味。)

これも同じ点を指す。

「$1$ つの点に、無限通りの極座標」

直交座標なら、$1$ つの点には $1$ 組の $(x,y)$ しかなかった。

この一意性のなさが、極座標の扱いにくいところだ。

だから、問題では必ず範囲が指定される。

$$r>0,0\leqq \theta <2\pi$$

この範囲なら、表し方は $1$ 通りに決まる。

(ただし、原点だけは例外。$r=0$ なら、$\theta$ は何でもいい。)

では、なぜ、そんな扱いにくい座標をわざわざ使うのか。

「原点からの距離」が主役の問題では、圧倒的に楽だからだ。

円の方程式。

$$\text{直交座標}:x^2+y^2=4$$ $$\text{極座標}:r=2$$

極座標なら、たった $1$ 文字!

渦巻き、花びら、心臓形 — 原点まわりの対称性をもつ図形は、極座標で書くと驚くほど単純になる。

「道具は、場面で選ぶ」

直交座標が万能ではない。 問題の対称性に合った座標を選ぶことが、計算を楽にする最大のコツなのだ。