数学C / 平面上の曲線

放物線の頂点と軸

★ 基礎放物線

問題

放物線 $y^{2} = 4 x$ の頂点と軸を答えよ。

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式に $y$ が $2$ 乗でしか入っていない。 $y$ を $- y$ に取りかえても式が変わらないことは、グラフのどんな対称性を意味するだろう。軸も頂点もそこから見える。

解答・解説

方針

$y^{2} = 4 p x$ の形は、頂点が原点、軸が $x$ 軸(左右に開くので対称軸は横)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 放物線 $y^{2} = 4 x$ の、頂点と軸を求める。

頂点とは、放物線の"折り返し点"だ。

この式で、 $x$ が最も小さくなるのはどこか。

$x = \frac{y ^{2}}{4} ≧ 0$

$y^{2} ≧ 0$ だから、 $x$ は必ず $0$ 以上。

$x = 0$ になるのは、 $y = 0$ のとき。

$頂点 (0, 0) (原点)$

軸とは、放物線の"対称軸"だ。

この曲線は、 $x$ 軸に関して対称になっている。

なぜか。 $y$ を $- y$ に変えても、 $y^{2}$ は変わらないからだ。

$(- y)^{2} = y^{2}$

点 $(x, y)$ が曲線上なら、点 $(x, - y)$ も曲線上。

つまり、 $x$ 軸で折り返しても、曲線は同じ。

$軸 : x 軸 (y = 0)$

「 $y^{2}$ の形 → $x$ 軸対称 → 軸は $x$ 軸」

$2$ 乗されている文字が、対称性を教えてくれる。

公式放物線

y^{2} = 4 p x

:頂点原点、軸

x

軸(

y = 0

)

$y^{2} = 4 x$ は $y^{2} = 4 p x$ の形( $p = 1$ )。

$頂点 (0, 0), 軸 x 軸 (y = 0)$

y²=4x。頂点(0,0)、軸は x軸(左右対称)

まとめ: $y^{2} = 4 p x$ は「頂点が原点、 $x$ 軸に関して対称」な放物線。 $y$ を $- y$ にしても式が変わらないので、 $x$ 軸が対称軸(= 軸)。左右に開く放物線の軸は横( $x$ 軸)だ。

発展 — 一歩先へ。 これで、高校数学のすべての課程が終わる。最後に、 $2$ 次曲線という主題を、大きく振り返っておこう。

$2$ 次曲線とは、 $x$ と $y$ の $2$ 次方程式が表す曲線だ。

$A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$

この $1$ つの式が、 $A$ から $F$ の値によって、すべての $2$ 次曲線を表す。

そして、種類は判別式で決まる。

$B^{2} - 4 A C ⎩ ⎨ ⎧ < 0 = 0 > 0 楕円 (または円) 放物線双曲線$

$2$ 次方程式の判別式と、同じ形をしている。

これは偶然ではない。 どちらも「 $2$ 次の項の構造」を見ているからだ。

$2$ 次曲線を統一する、 $3$ つの視点。

① 円錐の切り口(アポロニウス、紀元前 $200$ 年)

$1$ つの円錐を、平面で切る。 角度によって、円・楕円・放物線・双曲線が現れる。

② 焦点と準線の距離の比(離心率 $e$ )

$e = 0 (円), 0 < e < 1 (楕円), e = 1 (放物線), e > 1 (双曲線)$

③ $2$ 次方程式の判別式( $B^{2} - 4 A C$ の符号)

$3$ つの、まったく違う視点。

幾何(切り口)、距離(離心率)、代数(判別式)。

それらが、同じ $3$ 種類の曲線を指し示す。

この一致こそが、数学の美しさだ。

そして、これらの曲線は、世界を記述している。

放物線: 投げたボールの軌跡、パラボラアンテナ、ヘッドライト
楕円: 惑星の軌道、ささやきの回廊、結石破砕
双曲線: 冷却塔、双曲線航法、反比例の関係
円: あらゆる回転運動

$2000$ 年前、アポロニウスは、純粋な知的興味から円錐の切り口を研究した。

「役に立つか」など、考えもしなかっただろう。

その $1800$ 年後、ケプラーが惑星の軌道を調べていたとき、彼はアポロニウスの楕円を必要とした。

ニュートンは、万有引力から $2$ 次曲線を導いた。

そして、いま、人類は $2$ 次曲線の計算で、探査機を太陽系の外へ送り出している。

「役に立たない」と思われた数学が、数百年後、世界を変える。

これは、数学の歴史で何度も繰り返されてきたことだ。

複素数も、非ユークリッド幾何も、群論も、そうだった。

あなたがこれまで学んできた道具 — 関数、微分、積分、確率、ベクトル、複素数、 $2$ 次曲線 —

そのすべてが、誰かの好奇心から生まれ、世界を記述する言語になった。

$y^{2} = 4 x$ の頂点は原点、軸は $x$ 軸。

この、最後の $1$ 問。

その先に何があるかは、あなたが決める。

答

頂点原点 $(0, 0)$ 、軸 $x$ 軸( $y = 0$ )

別解

平行移動した放物線でも通用する、一般の見方。

この問題の放物線は、頂点が原点にある「標準形」だった。

では、頂点が原点にない放物線は?

一般形は、こう書ける。

$(y - k)^{2} = 4 p (x - h)$

これは、 $y^{2} = 4 p x$ を、 $x$ 方向に $h$ 、 $y$ 方向に $k$ だけ平行移動したものだ。

頂点: $(h, k)$
軸: $y = k$ (横線)
焦点: $(h + p, k)$
準線: $x = h - p$

すべて、 $h$ と $k$ の分だけ、ずれる。

具体例で確かめよう。

$(y - 2)^{2} = 4 (x - 3)$

$h = 3$ 、 $k = 2$ 、 $p = 1$ 。

頂点: $(3, 2)$
軸: $y = 2$
焦点: $(4, 2)$
準線: $x = 2$

もとの放物線( $y^{2} = 4 x$ )を、右へ $3$ 、上へ $2$ 動かしただけだ。

形は、まったく同じ。

頂点を求めるコツ。

「 $2$ 乗の中身 $= 0$ 、カッコの中身 $= 0$ 」とおく。

$y - 2 = 0 ⟹ y = 2$ $x - 3 = 0 ⟹ x = 3$

頂点 $(3, 2)$ ✓

この方法なら、公式を覚えなくてもよい。

そして、展開された形で与えられたら?

$y^{2} - 4 y - 4 x + 16 = 0$

平方完成する。

$y^{2} - 4 y = 4 x - 16$

$(y - 2)^{2} - 4 = 4 x - 16$

$(y - 2)^{2} = 4 x - 12 = 4 (x - 3)$

標準形に戻った ✓ 頂点は $(3, 2)$ 。

「展開されていたら、平方完成で標準形に戻す」

$2$ 次関数の頂点を求めるときと、まったく同じ手順だ。

数学Iで習った平方完成が、ここでも使える。

さて、この問題の放物線 $y^{2} = 4 x$ を、あらためて眺めてみよう。

頂点: $(0, 0)$
軸: $x$ 軸
焦点: $(1, 0)$
準線: $x = - 1$

そして、頂点は、焦点と準線のちょうど中点にある。

$\frac{1 + ( - 1 )}{2} = 0 ✓$

当然だ。 頂点も放物線上の点なので、「焦点までの距離 $=$ 準線までの距離」を満たす。

焦点から $1$ 、準線から $1$ — その中間点が、頂点である。

放物線の $4$ つの要素(頂点・軸・焦点・準線)は、すべてつながっている。

$1$ つ分かれば、他も決まる。

ポイント

$y^{2} = 4 p x$ :頂点原点、軸 $x$ 軸。
$y \to - y$ で不変 → $x$ 軸対称。

よくある間違い

軸を $y$ 軸としてしまう。 $y^{2}$ の形は $x$ 軸対称なので、軸は $x$ 軸
頂点を焦点( $(1, 0)$ )と混同する。頂点は原点 $(0, 0)$ で、焦点とは別の点
$y^{2} = 4 x$ を $y = 4 x^{2}$ (縦向き)と読み違え、軸を $y$ 軸としてしまう