楕円上の点と焦点距離

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\mathrm{P}$ の座標を求めにいくと計算が重い。

楕円には「$2$ 焦点からの距離の和が一定」という定義がある。和は $2a$。$a^2=25$ より $a=5$ だから、$\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }=10$。

$\mathrm{PF}=7$ が分かっているので、あとは引き算。${\mathrm{PF}}^{\prime }=10-7=3$、と見通す。

① 距離の和を出す。 $a^2=25$ より $a=5$。楕円上の点では

$$\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }=2a=10$$

② 引き算する。 $\mathrm{PF}=7$ だから

$${\mathrm{PF}}^{\prime }=10-7=3$$

まとめ:楕円の「$2$ 焦点からの距離の和は一定($2a$)」を使えば、片方の距離からもう片方が即座に出る。$\mathrm{PF}=7$ なら ${\mathrm{PF}}^{\prime }=10-7=3$。座標を求める必要はなく、定義だけで解ける典型だ。

発展 — 一歩先へ。 じつは楕円上の点から焦点までの距離は、$x$ 座標の $1$ 次式で書ける。$e=\frac{c}{a}$ を離心率として、$\mathrm{PF}=a-ex$、${\mathrm{PF}}^{\prime }=a+ex$。和が $2a$ になるのは、この $2$ 式を足すと $x$ が消えるからだ。

この楕円は $a=5$、$c=\sqrt{25-9}=4$ で $e=\frac{4}{5}$。焦点距離は $x$ について $a-ex$ と直線的に変わり、いちばん近い頂点で $a-c=1$、いちばん遠い頂点で $a+c=9$。

だから焦点距離は $1$ から $9$ までの値をとる。$\mathrm{PF}=7$ はこの範囲に収まる正しい値。離心率 $e$ が大きい(楕円がつぶれている)ほど、$a-c$ と $a+c$ の開きが大きくなる。

別解

別解 — $\mathrm{P}$ の座標を求めて直接測る(得意な人向けの確かめ)。 定義に頼らず、$\mathrm{P}$ を実際に求めて距離を計算しても $3$ が出る。

焦点は $c=\sqrt{25-9}=4$ で、$\mathrm{F}(4,0)$、${\mathrm{F}}^{\prime }(-4,0)$。$\mathrm{P}(x,y)$ は楕円上だから $y^2=9-\frac{9x^2}{25}$。$\mathrm{PF}=7$ より

$$(x-4{)}^2+y^2=49.$$

$y^2$ を代入して整理すると $\frac{16}{25}{x}^2-8x-24=0$、すなわち $2x^2-25x-75=0$。解くと $x=15$ または $x=-\frac{5}{2}$。楕円上では $-5\le x\le 5$ だから $x=-\frac{5}{2}$。

このとき $y^2=9-\frac{9}{4}=\frac{27}{4}$。${\mathrm{F}}^{\prime }(-4,0)$ までの距離は

$${\mathrm{PF}}^{\prime 2}={\left(-\frac{5}{2}+4\right)}^2+\frac{27}{4}=\frac{9}{4}+\frac{27}{4}=9,{\mathrm{PF}}^{\prime }=3.$$

定義で引き算する本解と同じ。座標を出して直接測っても、$\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }=7+3=10=2a$ がちゃんと成り立つ。定義の近道が、この計算に裏づけられている。