楕円の焦点(縦長)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 前問と、$25$ と $9$ の位置が入れかわっている。

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$$

分母を見比べる。

$$x\text{ の分母}:9,y\text{ の分母}:25$$

$y$ の分母のほうが大きい。

これは、$y$ 方向に長い — つまり縦長の楕円だ。

そして、大事な原則がある。

$$\boxed{\text{焦点は、長いほうの軸(長軸)の上にある}}$$

縦長なら、焦点は $y$ 軸上。

$a$ を長いほう($a=5$)、$b$ を短いほう($b=3$)とすると

$$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$$

焦点は $y$ 軸上の $(0,\pm 4)$。

「分母の大きいほうの軸に、焦点がある」

この判定を最初にやることで、焦点を $x$ 軸に置いてしまうミスが防げる。

① 長軸の向きを見る。 $y^2$ の分母 $25$ が $x^2$ の分母 $9$ より大きい。よって縦長で、焦点は $y$ 軸上。

② 焦点を求める。 $c=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。

$$\text{焦点}(0,\pm 4)$$

まとめ:楕円の焦点は「長軸(分母が大きい軸)の上」にある。ここは $y$ の分母が大きいので $y$ 軸上 $(0,\pm 4)$。$c=\sqrt{(\text{大きい分母})-(\text{小さい分母})}$。どちらが長軸かを最初に見極めるのが大事だ。

発展 — 一歩先へ。 楕円が「どれくらい細長いか」を測る数がある。

離心率 $e$。

$$e=\frac{c}{a}(0\leqq e<1)$$

この問題の楕円なら

$$e=\frac{4}{5}=0.8$$

かなり細長い楕円だ。

$e$ の意味を、極端な場合で考えよう。

$e=0$ のとき。

$c=0$、つまり $2$ つの焦点が重なる。

$$c^2=a^2-b^2=0⟹a=b$$

円だ! 円は、離心率 $0$ の楕円である。

$e\to 1$ のとき。

$c\to a$、つまり焦点が長軸の端に近づく。

$$b^2=a^2-c^2\to 0$$

楕円は、ぺしゃんこの線分に近づく。

「$e$ が $0$ に近いほど丸く、$1$ に近いほど細長い」

この $e$ が、天文学の主役だ。

惑星の軌道の離心率。

• 金星: $e=0.007$ — ほぼ完全な円
• 地球: $e=0.017$ — ほぼ円(だから、季節は距離のせいではない!)
• 火星: $e=0.093$ — やや楕円
• 水星: $e=0.206$ — かなり楕円
• 冥王星: $e=0.249$ — 楕円(海王星の軌道と交差する)

「地球の軌道はほぼ円」 — これは重要な事実だ。

「夏は太陽に近いから暑い」というのは、誤りである。

実際、地球が太陽にいちばん近づくのは $1$ 月(北半球の冬)。

季節は、地軸の傾き($23.4^{\circ }$)で決まる。 距離ではない。

では、彗星は?

ハレー彗星の離心率は $e=0.967$ — 極端に細長い楕円だ。

太陽の近くを高速で通過し、遠く海王星の外側まで飛んでいく。

周期は $76$ 年。

そして、$e=1$ を超えると、楕円ではなくなる。

放物線($e=1$)、双曲線($e>1$) — もう戻ってこない軌道だ。

離心率 $1$ が、「太陽に永遠に縛られるか、自由になるか」の境界線である。

この境界を超える速さを、脱出速度という。

地球からの脱出速度は、秒速 $11.2$ km。

この速度を超えれば、ロケットは地球の重力を振り切って、二度と戻らない。

$e=\frac{4}{5}$ という、$1$ つの数。

それが、楕円の"細長さ"を測り、天体の運命を決めている。

別解

「なぜ、焦点は長軸の上にあるのか」を、定義から考える。

楕円の定義は、「$2$ 焦点からの距離の和が一定」だった。

その和は、$2a$(長軸の長さ)。

ここで、短軸の端点を考えてみよう。

縦長の楕円なら、短軸の端点は $(\pm 3,0)$。

もし焦点が $x$ 軸上(短軸上)にあったとしたら?

距離の和は、短軸の長さ($2b=6$)にしかならない。

だが、実際の和は $2a=10$ でなければいけない。

矛盾する。

だから、焦点は長軸の上にあるしかない。

もう $1$ つの見方。

焦点どうしの距離($2c$)は、長軸の長さ($2a$)より短くなければならない。

($2$ 定点からの距離の和が $2a$ で、$2$ 点間の距離が $2c$。三角不等式より $2a>2c$。)

もし焦点が短軸上にあったら、$2c$ は短軸($2b$)より短い、という条件になる。

だが $b<a$ なので、$c<b<a$ — 焦点どうしが近すぎて、楕円が"つぶれて"しまう。

幾何的に、焦点は長軸上でなければならないのだ。

実際に、定義を確かめよう。

焦点 $(0,\pm 4)$、和は $2a=10$ のはず。

楕円上の点 $(3,0)$(短軸の端)で計算する。

$$\text{上の焦点 }(0,4)\text{ まで}:\sqrt{3^2+4^2}=5$$ $$\text{下の焦点 }(0,-4)\text{ まで}:\sqrt{3^2+4^2}=5$$ $$\text{和}:5+5=10✓$$

点 $(0,5)$(長軸の端)でも。

$$|5-4|=1,|5-(-4)|=9$$ $$\text{和}:1+9=10✓$$

すべて $10$ で一定 ✓

そして、点 $(3,0)$ での計算に、また直角三角形が現れた。

$$3^2+4^2=5^2$$

$b=3$、$c=4$、$a=5$。

$$a^2=b^2+c^2$$

「短軸の端から焦点までの距離は、$a$(長半径)に等しい」

この事実が、$c=\sqrt{a^2-b^2}$ という公式の正体だ。

横長でも縦長でも、この直角三角形は変わらない。

変わるのは、「どの軸が長いか」だけ。

$a$、$b$、$c$ の関係を、$1$ つの直角三角形として覚えておけば、横長・縦長で混乱することはない。

そして、$a$ は必ず「長いほう」だと決めておく。

この約束を守れば、公式は $1$ つで済む。