楕円の反射性質

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「2つの角が等しい」を、角の計算で示すのは茨の道だ。鏡像で言い換える。

${\mathrm{F}}_1$ の、接線 $\ell$ に関する対称点 ${\mathrm{F}}_1^{\prime }$ をとる。対称性から「$\ell$ と ${\mathrm{PF}}_1$ のなす角」=「$\ell$ と ${\mathrm{PF}}_1^{\prime }$ のなす角」。だから示すべきことは、${\mathrm{F}}_2,\mathrm{P},{\mathrm{F}}_1^{\prime }$ が一直線に並ぶこと、に変わる。

一直線を言う鍵は、楕円の定義 ${\mathrm{PF}}_1+{\mathrm{PF}}_2=2a$ と、「接線上の他の点はすべて楕円の外側にある(=距離の和が $2a$ を超える)」という接線の性質。折れ線の最短が直線、という原理で結ばれる。

① 対称点をとる。 ${\mathrm{F}}_1$ の $\ell$ に関する対称点を ${\mathrm{F}}_1^{\prime }$ とする。$\ell$ 上の任意の点 $\mathrm{Q}$ で ${\mathrm{QF}}_1={\mathrm{QF}}_1^{\prime }$ だから

$${\mathrm{QF}}_2+{\mathrm{QF}}_1={\mathrm{QF}}_2+{\mathrm{QF}}_1^{\prime }\ge {\mathrm{F}}_2{\mathrm{F}}_1^{\prime }$$

(折れ線は直線より長い。等号は $\mathrm{Q}$ が線分 ${\mathrm{F}}_2{\mathrm{F}}_1^{\prime }$ 上のとき。)

② 最小が $\mathrm{P}$ で起きることを使う。 接点 $\mathrm{P}$ 以外の $\ell$ 上の点 $\mathrm{Q}$ は楕円の外側にあるから ${\mathrm{QF}}_1+{\mathrm{QF}}_2>2a$、一方 $\mathrm{P}$ では $=2a$。つまり①の左辺は $\mathrm{Q}=\mathrm{P}$ で最小 — 等号成立点は $\mathrm{P}$ に限られ、$\mathrm{P}$ は線分 ${\mathrm{F}}_2{\mathrm{F}}_1^{\prime }$ 上にある。すなわち ${\mathrm{F}}_2,\mathrm{P},{\mathrm{F}}_1^{\prime }$ は一直線に並ぶ(このとき ${\mathrm{F}}_2{\mathrm{F}}_1^{\prime }=2a$ も従う)。

③ 角を結論する。 ${\mathrm{F}}_1^{\prime }$ は ${\mathrm{F}}_1$ の鏡映だから、$\ell$ と ${\mathrm{PF}}_1$ のなす角 $=\ell$ と ${\mathrm{PF}}_1^{\prime }$ のなす角。②より ${\mathrm{PF}}_1^{\prime }$ は ${\mathrm{PF}}_2$ の延長そのものなので、この角は $\ell$ と直線 ${\mathrm{PF}}_2$ のなす角(対頂角)に等しい。よって2つの角は等しい。

まとめ: 「等角は鏡映+共線」に翻訳し、共線は「定義の最小性」から引き出す — 計算のない、定義だけで進む証明。この性質が『一方の焦点から出た光が楕円面で反射してもう一方の焦点に集まる』という反射望遠鏡・ささやきの回廊の原理そのものだ。

発展 — 一歩先へ。 この反射性質は実用の塊だ。楕円形の部屋では一方の焦点のささやきが他方の焦点で聞こえ(ささやきの回廊)、医療では楕円面鏡で衝撃波を焦点の結石に集める(結石破砕術)。双曲線・放物線にもそれぞれ反射性質があり(放物線は「焦点から出た光が軸に平行に」=パラボラアンテナ)、円錐曲線の一家はみな「光の設計図」として現役で働いている。

別解

法線が角を二等分することを、単位ベクトルで示す(解析ルート)。 ひし形の対角線の原理 — 「長さの等しい2本のベクトルの和は、なす角を二等分する」を使う。

$\mathrm{P}$ から各焦点へ向かう単位ベクトル ${\vec{e}}_1=\frac{\overrightarrow{{\mathrm{PF}}_1}}{{\mathrm{PF}}_1},{\vec{e}}_2=\frac{\overrightarrow{{\mathrm{PF}}_2}}{{\mathrm{PF}}_2}$ の和 ${\vec{e}}_1+{\vec{e}}_2$ は、角 ${\mathrm{F}}_1\mathrm{P}{\mathrm{F}}_2$ の二等分方向を向く。

一方、楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ の点 $\mathrm{P}(x_0,y_0)$ での法線方向は $\left(\frac{x_0}{4},y_0\right)$(接線の公式 $\frac{x_{0}x}{4}+y_{0}y=1$ の係数)。焦点距離の公式 ${\mathrm{PF}}_1=a-e{x}_0,{\mathrm{PF}}_2=a+e{x}_0$ を使って ${\vec{e}}_1+{\vec{e}}_2$ を成分計算すると、ちょうど $\left(\frac{x_0}{4},y_0\right)$ の定数倍になることが確かめられる。

法線が内角を二等分する ⟺ 接線と2本の焦点半径のなす角が等しい — 反射の性質の言い換えだ。鏡像(本解)は補助点1つの美しい総合幾何、単位ベクトルの和は座標で押し切る解析幾何。二等分を「和のベクトル」で作るこの手筋は、内心の位置ベクトルなどでも使った、平面図形の汎用部品である。