楕円に内接する長方形の最大面積(媒介変数と最大)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 楕円上の点は媒介変数で $(a\cos \theta ,b\sin \theta )$ と書ける。第1象限の頂点をこれでおくと、長方形の面積が $\theta$ の式になる。

$4$ つの頂点は対称だから、長方形の面積は $4\times (a\cos \theta )(b\sin \theta )=4ab\cos \theta \sin \theta$。

$2$ 倍角 $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ を使うと $2ab\sin 2\theta$。$\sin 2\theta$ の最大は $1$($\theta =\frac{\pi }{4}$)だから、最大面積は $2ab$。

① 面積を $\theta$ で表す。 第1象限の頂点を $(a\cos \theta ,b\sin \theta )$($0<\theta <\frac{\pi }{2}$)とおくと、長方形の横は $2a\cos \theta$、縦は $2b\sin \theta$。面積は $$S=(2a\cos \theta )(2b\sin \theta )=4ab\sin \theta \cos \theta .$$

② 2倍角でまとめる。 $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ だから $$S=2ab\sin 2\theta .$$ ③ 最大。 $\sin 2\theta$ は $2\theta =\frac{\pi }{2}$、すなわち $\theta =\frac{\pi }{4}$ で最大値 $1$。よって面積の最大は $$S_{\max }=2ab.$$

まとめ 楕円上の点を媒介変数でおくと、内接長方形の面積が $2ab\sin 2\theta$。$\theta =\frac{\pi }{4}$ で最大 $2ab$。曲線(媒介変数)・最大最小・三角の融合。

発展 — 一歩先へ。 最大面積 $2ab$ は、楕円の外接長方形($2a\times 2b=4ab$)のちょうど半分。円で「内接正方形は外接正方形の半分」なのが、$1$ 次変換で楕円にそのまま引き継がれる。$1$ 次変換は「比」を保つ(面積比・中点・平行を保つ)ので、円で成り立つ“比の性質”は楕円でも成り立つ、という強力な原則の例だ。

別解

別解 — 円に変換して「内接正方形」に帰着(得意な人向けの高い視点)。 $X=\frac{x}{a}$、$Y=\frac{y}{b}$ で楕円を単位円に写す。この変換は「軸に平行な長方形」を「軸に平行な長方形」に写し、面積を $\frac{1}{ab}$ 倍にする。

だから「楕円に内接する軸平行長方形の最大面積」は、「単位円に内接する軸平行長方形の最大面積」を $ab$ 倍したもの。

単位円に内接する軸平行長方形で面積最大なのは正方形(対角線が直径)。$1$ 辺 $\sqrt{2}$、面積 $2$。よって

$$(\text{楕円の最大長方形})=ab\times 2=2ab.$$

媒介変数で $\sin 2\theta$ の最大を読む(本解)のと同じ $2ab$ だが、「円ではいちばん対称な正方形が最大」という直感を、変換で楕円に持ち込める。最大を与える楕円上の点 $(a\cos \frac{\pi }{4},b\sin \frac{\pi }{4})$ は、円での正方形の頂点 $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ を引き伸ばしたものだ。