数学C / 平面上の曲線

双曲線の焦点距離の差

★★ 標準双曲線

問題

双曲線 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 上の点 $P$ から、 $2$ つの焦点までの距離の差の絶対値を求めよ。

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双曲線の定義そのものが最短ルート。楕円のときと何が違ったかに注意。

解答・解説

方針

双曲線の定義: $2$ 焦点からの距離の差(の絶対値)は一定で $2 a$ 。 $a^{2} = 9$ なので $a = 3$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 楕円の「和が一定」に対して、双曲線は「差が一定」— それが定義で、一定値はやはり $2 a$ 。

$PF - PF^{'} = 2 a$

$a^{2} = 9$ より $a = 3$ 、答えは $6$ 。

差に絶対値が付くのは、双曲線に枝が $2$ 本あるから — 右の枝では左の焦点の方が遠く、左の枝では逆になる。どちらの枝でも「遠い方 $-$ 近い方 $= 6$ 」である。

定理双曲線の定義:

2

焦点からの距離の差の絶対値は一定で

2 a

① 双曲線の定義。 双曲線上のどの点でも $∣ PF - PF^{'} ∣ = 2 a$ (一定)。

② $a$ を読む。 $a^{2} = 9$ より $a = 3$ 。

$∣ PF - PF^{'} ∣ = 2 a = 6$

双曲線上の点から2焦点までの距離の差=2a=6(一定)

まとめ:双曲線は「 $2$ 焦点からの距離の差が一定」(楕円は和が一定)。差の絶対値は $2 a$ に等しい。楕円と双曲線は「和か差か」で対になっている。ここも計算不要で $a$ を読むだけだ。

発展 — 一歩先へ。 「差が一定」は測位の原理だ。 $2$ つの局から同時に電波を出すと、受信時刻の差から「差が一定の曲線 $=$ 双曲線」の上にいることが分かる。局のペアを $2$ 組使えば双曲線 $2$ 本の交点で位置が決まる — GPS 以前の航法システム(ロラン)はまさに双曲線測位で、雷の落雷位置の標定にも同じ原理が使われている。

なお定義の式で $2 a$ を $2$ 焦点間の距離 $2 c$ より大きくすると、条件を満たす点が消える(三角形の成立条件に反する)。 $2 a < 2 c$ が双曲線の存在条件 — 楕円( $2 a > 2 c$ )とちょうど裏返しの不等式になっている。

答

$6$

別解

「差が $6$ 」を、いちばん見やすい点 — 頂点で実測しておこう。焦点は $c^{2} = 9 + 16 = 25$ から $(\pm 5, 0)$ 。

右の頂点 $(3, 0)$ に立つと

近い焦点 $(5, 0)$ まで: $5 - 3 = 2$
遠い焦点 $(- 5, 0)$ まで: $3 + 5 = 8$

$∣2 - 8∣ = 6 ✓$

一般の点でも確かめられる。たとえば $x = 4$ の点( $y^{2} = 16 (\frac{16}{9} - 1)$ から $y = \frac{4 7}{3}$ )で $2$ つの距離を計算すると、値は変わっても差はやはり $6$ になる。

楕円との対比で覚える —「和が $2 a$ (糸で結ばれた $2$ ピン)」対「差が $2 a$ (遠近の差を保って逃げる)」。差が一定の点をたどると、焦点をよける $2$ 本の枝が自然に現れる。双曲線のあの独特な形は、「差の一定」という束縛の絵姿である。

ポイント

双曲線:距離の差 $= 2 a$ (一定)。
楕円は和、双曲線は差。

よくある間違い

差を $2 a = 6$ でなく $2 c = 10$ や $2 b = 8$ とする
絶対値を忘れ「差が負になる場合」で混乱する(遠い方 $-$ 近い方と読む)
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ を計算して $c$ を差の値と取り違える(差の値に $c$ は不要)