放物線の接線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 次曲線上の点での接線には、半分ずつ置き換える公式がある。$y^2=4px$ 上の点 $(x_1,y_1)$ では

$$y_{1}y=2p(x+x_1)$$

($y^2=y\cdot y$ の片方を $y_1$ に、$x$ を $\frac{x+x_1}{2}$ 的に置き換えた形。)

$p=1$、$(x_1,y_1)=(1,2)$ を代入して

$$2y=2(x+1)⟺y=x+1$$

① 公式に当てはめる。 $y^2=4x$ は $p=1$。点 $(x_1,y_1)=(1,2)$。

$$y_{1}y=2p(x+x_1)\Rightarrow 2y=2(x+1)$$

② 整理する。 両辺を $2$ で割って

$$y=x+1$$

まとめ:$2$ 次曲線の接線は「$x^2\to x_{1}x$、$y^2\to y_{1}y$ に置き換える」タイプの公式で出せる。放物線 $y^2=4px$ なら $y_{1}y=2p(x+x_1)$。微分せずに接点の座標を入れるだけで接線が求まる。

発展 — 一歩先へ。 この接線 $y=x+1$ は、$y$ 切片が準線 $x=-1$ と $x$ 軸の交点の真上 — 偶然ではなく、放物線の接線は「接点と焦点・準線の対称性」を豊富に持つ。たとえば焦点 $(1,0)$ から接線に下ろした垂線の足は必ず $y$ 軸上に乗る、接線は「焦点からの光の反射方向」を二等分する、など — パラボラアンテナの反射性質の証明は、この接線の式から始まる。

「半分ずつ置き換える」公式は円($x_{1}x+y_{1}y=r^2$)・楕円・双曲線に共通の文法で、$2$ 次式の「極線」という統一概念の現れ。$1$ つ覚えれば $4$ 曲線分の接線公式が手に入る。

別解

公式を使わず、微分で傾きを出す道と、重解で確かめる道 — $2$ つの独立ルートで同じ接線に着いてみせよう。

微分ルート: $y^2=4x$ の両辺を $x$ で微分(陰関数微分)すると $2y{y}^{\prime }=4$、つまり

$$y^{\prime }=\frac{2}{y}$$

点 $(1,2)$ では $y^{\prime }=1$。傾き $1$ で $(1,2)$ を通る直線は

$$y=1\cdot (x-1)+2=x+1$$

重解チェック: $y=x+1$ を $y^2=4x$ に代入すると

$$(x+1{)}^2=4x⟺(x-1{)}^2=0$$

$x=1$ の重解 — 直線は曲線と $1$ 点でだけ触れている。接線の資格の完全な証明だ。

「公式(速い)・微分(汎用)・重解(検算)」の三段構え。公式の形を忘れても微分で作れ、答えが合っているかは重解で確かめられる — 楕円・双曲線の接線でも、この三点セットはそのまま通用する。