平行な弦の中点の軌跡

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 弦の中点に必要なのは、2交点の座標ではなく解の和だけだ。

直線 $y=x+k$ を楕円に代入して $x$ の2次方程式を作り、解と係数の関係で中点の $x$ 座標を $k$ で表す。$y$ 座標も直線の式から $k$ で書ける。

あとは2つの式から $k$ を消去すれば、中点の乗る直線が出る。個々の交点を求めない — 「和だけ取り出す」計算設計が、この型の心臓部になる。

① 代入して2次方程式を作る。 $y=x+k$ を楕円に代入:

$$\frac{x^2}{4}+(x+k{)}^2=1⟺\frac{5}{4}{x}^2+2kx+k^2-1=0$$

2点で交わる条件は判別式 $>0$、整理すると $k^2<5$(この範囲の $k$ を考える)。

② 中点を解の和で書く。 2解を $x_1,x_2$ とすると、解と係数の関係で

$$x_1+x_2=-\frac{2k}{5/4}=-\frac{8k}{5}$$

中点の座標 $(X,Y)$ は

$$X=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{4k}{5},Y=X+k=-\frac{4k}{5}+k=\frac{k}{5}$$

③ $k$ を消去する。 $k=5Y$ を $X=-\frac{4k}{5}$ に代入して $X=-4Y$、すなわち

$$y=-\frac{x}{4}$$

— 中点はすべてこの直線上に乗る($k^2<5$ に対応して、楕円の内部にある部分だけを動く)。

まとめ: 「中点は解の和」— この一言で根号が一切現れない。一般の楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ と傾き $m$ でも同じ計算で中点直線 $y=-\frac{b^2}{a^{2}m}x$ が出る(共役な直径)。傾きの積が $-\frac{b^2}{a^2}$ で一定、という楕円の隠れた対称性の入口だ。

発展 — 一歩先へ。 弦の傾き $m$ を一般にすると、中点の直線の傾き $m^{\prime }$ とのあいだに $m{m}^{\prime }=-\frac{b^2}{a^2}$(本問は $1\cdot (-\frac{1}{4})=-\frac{1}{4}$)という関係が成り立つ。この2方向の組は「共役直径」と呼ばれ、円の「垂直な直径」($m{m}^{\prime }=-1$)が伸長でゆがんだ姿。楕円の作図・面積・接線の議論で繰り返し顔を出す、楕円の内部構造の骨格だ。

別解

楕円を円に伸ばして、垂直な直径で読む(アフィン変換)。 $Y=2y$ と縦に2倍伸ばすと、楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ は円 $x^2+Y^2=4$ になる。

この変換で、直線は直線に、中点は中点に移る(1次変換は内分比を保つ)。弦の族 $y=x+k$ は $Y=2x+2k$、つまり傾き2の平行な弦の族に移る。

円では話が一瞬だ。平行な弦の中点は、弦に垂直な直径の上に乗る(円の対称性)。傾き2に垂直な直径は $Y=-\frac{x}{2}$。

これを元の世界に戻す($Y=2y$)と

$$2y=-\frac{x}{2}⟹y=-\frac{x}{4}$$

解と係数(本解)は万能の計算、円への伸長は「なぜ直線に乗るのか」を対称性で見せる種明かし。楕円の問題は、円に伸ばすと自明になるものが多い — 面積 $\pi ab$ もこの変換の産物だった。