媒介変数を消去して曲線を求める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 媒介変数を消去して、$x,y$ の関係式を作る。

$x=t+\frac{1}{t}$、$y=t-\frac{1}{t}$ は「和と差」の形。だから $x+y$ と $x-y$ を作ると、$t$ と $\frac{1}{t}$ がきれいに分離される。

$(x+y)$ と $(x-y)$ を掛けると $t\cdot \frac{1}{t}=1$ が現れて $t$ が消える。

すると $x^2-y^2$ の形になる、と見通す。和と差を作るのがコツ。

① 和と差を作る。

$$x+y=\left(t+\frac{1}{t}\right)+\left(t-\frac{1}{t}\right)=2t$$ $$x-y=\left(t+\frac{1}{t}\right)-\left(t-\frac{1}{t}\right)=\frac{2}{t}$$

② 掛けて $t$ を消す。

$$(x+y)(x-y)=2t\cdot \frac{2}{t}=4$$

左辺は $x^2-y^2$ だから

$$x^2-y^2=4$$

まとめ:「和と差」の形の媒介変数は「$x+y$、$x-y$ を作って掛ける」と $t$ が消える。$x+y=2t$、$x-y=\frac{2}{t}$ を掛けて $x^2-y^2=4$(双曲線)。$t\cdot \frac{1}{t}=1$ で媒介変数が約分されるのが決め手。

発展 — 一歩先へ。 得られた $x^2-y^2=4$ は双曲線だが、$t$ の動く範囲によって描かれるのは一部だけ。$x=t+\frac{1}{t}$ は、相加相乗平均から $t>0$ で $x\ge 2$、$t<0$ で $x\le -2$。だから左右両方の枝が現れる。

この $t+\frac{1}{t}$、$t-\frac{1}{t}$ という組は、単位円上の $z+\frac{1}{z}=2\cos \theta$(複素数)と同じ発想の親戚。和と差で変数を分離するのは、媒介変数消去の王道だ。

一般に、媒介変数表示は「同じ曲線を、点の動き方も込めて」表す。方程式 $x^2-y^2=4$ だけでは分からない「どちらの枝を、どの向きに動くか」まで、$t$ が教えてくれる。

別解

別解 — $x^2$ と $y^2$ を直接計算して引く(得意な人向けの視点)。 和と差を作らず、$x^2$ と $y^2$ をそれぞれ展開して引いても $t$ が消える。

$$x^2={\left(t+\frac{1}{t}\right)}^2=t^2+2+\frac{1}{t^2},y^2={\left(t-\frac{1}{t}\right)}^2=t^2-2+\frac{1}{t^2}.$$

どちらにも $t^2$ と $\frac{1}{t^2}$ が同じだけ含まれる。だから引くと、それらが消えて定数だけ残る。

$$x^2-y^2=\left(t^2+2+\frac{1}{t^2}\right)-\left(t^2-2+\frac{1}{t^2}\right)=4.$$

$(x+y)(x-y)$ で消す本解と同じ $x^2-y^2=4$。${\left(t\pm \frac{1}{t}\right)}^2$ を展開すると、$2$ 乗項 $t^2,\frac{1}{t^2}$ は共通で、中央の $\pm 2$ だけが符号違い。引けばその差 $4$ が残る。「和と差の積」を使わなくても、真ん中の項の符号差が答えを作る。