放物線の焦点と準線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 放物線の標準形を、思い出そう。

$$y^2=4px$$

この形なら、焦点と準線は $p$ だけで決まる。

• 焦点: $(p,0)$
• 準線: $x=-p$

与えられた式と、見比べる。

$$y^2=4x⟺y^2=4\times 1\times x$$

$4p=4$、つまり $p=1$。

$$\text{焦点}(1,0),\text{準線}x=-1$$

焦点と準線は、原点をはさんで反対側にある。

焦点が右($x=1$)なら、準線は左($x=-1$)。

この対称性を、図で確認しておこう。

放物線は、焦点のある側へ開いている。

そして、この $2$ つ(焦点と準線)には、放物線を定義する、決定的な意味がある。 それは別解で見よう。

① $p$ を求める。 $y^2=4x$ を $y^2=4px$ と比べて $4p=4$、$p=1$。

② 焦点と準線を書く。

$$\text{焦点}(1,0),\text{準線}x=-1$$

まとめ:放物線 $y^2=4px$ は「焦点からの距離 = 準線からの距離」の点の集まり。$4x$ の係数から $p=1$ を読む。焦点は $x$ 軸上 $(1,0)$、準線は縦線 $x=-1$。$p$ が正なら右向きに開く。

発展 — 一歩先へ。 放物線・楕円・双曲線 — この $3$ つを、まとめて $2$ 次曲線という。

なぜ、この $3$ つがセットなのか。

円錐を、平面で切ってみよう。

切り方によって、断面の形が変わる。

• 軸に垂直に切る → 円
• 少し傾けて切る → 楕円
• 母線に平行に切る → 放物線
• もっと急に(軸に平行に近く)切る → 双曲線

$1$ つの円錐から、$4$ 種類の曲線がすべて出てくる。

だから、円錐曲線と呼ばれる。

($2000$ 年前、アポロニウスが体系的に研究した。)

そして、この $3$ つは、統一的な定義でも書ける。

「$1$ 点(焦点 $\mathrm{F}$)と $1$ 直線(準線 $\ell$)からの距離の比が一定」

$$\frac{(\text{焦点までの距離})}{(\text{準線までの距離})}=e(\text{離心率})$$

この $e$ の値で、曲線の種類が決まる。

• $e=0$ → 円
• $0<e<1$ → 楕円
• $e=1$ → 放物線(距離が等しい — この問題の定義!)
• $e>1$ → 双曲線

放物線は、楕円と双曲線の"境界"にいる。

$e$ を $0$ から少しずつ大きくしていくと、円 → 楕円 → (だんだん細長く)→ 放物線 → 双曲線 と、連続的に変化していく。

そして、この $e$ という数は、天体の軌道を決める。

ケプラーの法則(惑星の軌道は楕円)を、ニュートンは万有引力から導いた。

その計算によれば、天体の軌道は $2$ 次曲線になる。

• $e<1$(楕円): 惑星、彗星 — 太陽のまわりを、周回する
• $e=1$(放物線): ぎりぎり戻ってこない — 脱出速度ちょうど
• $e>1$(双曲線): 恒星間天体 — 太陽系を通り過ぎて、二度と戻らない

$2017$ 年、太陽系外から来た初の天体「オウムアムア」が発見された。

その軌道の離心率は $e=1.2$ — 双曲線軌道だ。

太陽の重力に捕まらず、通り過ぎて去っていった。

$y^2=4x$ の焦点は $(1,0)$

この、教科書どおりの計算。

その焦点という概念が、パラボラアンテナを設計し、惑星の軌道を予言し、太陽系を通り過ぎる天体の運命を決めている。

別解

放物線の"定義"に戻って、焦点と準線を検証する。

放物線とは何か。

「$1$ 点(焦点)と $1$ 直線(準線)から、等距離にある点の集合」

これが定義だ。

この定義が、本当に成り立っているか、実際の点で確かめよう。

曲線 $y^2=4x$ 上の点を、$1$ つ取る。

$$\text{点 }(1,2)(2^2=4\times 1✓)$$

この点から、焦点 $(1,0)$ までの距離は?

$$\sqrt{(1-1{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{0+4}=2$$

次に、準線 $x=-1$ までの距離は?

準線は縦線なので、$x$ 座標の差だけを見ればよい。

$$|1-(-1)|=2$$

どちらも $2$! 等しい ✓

別の点でも確かめよう。

$$\text{点 }(4,4)(4^2=16=4\times 4✓)$$

焦点までの距離:

$$\sqrt{(4-1{)}^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

準線までの距離:

$$|4-(-1)|=5$$

やはり等しい ✓

($3$–$4$–$5$ の直角三角形が出てくるのが、気持ちいい。)

さらに、頂点 $(0,0)$ でも。

焦点まで $1$、準線まで $1$ ✓

すべての点で、「焦点までの距離 $=$ 準線までの距離」が成り立っている。

これが、放物線の正体だ。

この定義から、方程式を導いてみよう。

点 $(x,y)$ が、焦点 $(p,0)$ と準線 $x=-p$ から等距離にある。

$$\sqrt{(x-p{)}^2+y^2}=|x+p|$$

両辺を $2$ 乗する。

$$(x-p{)}^2+y^2=(x+p{)}^2$$

$$x^2-2px+p^2+y^2=x^2+2px+p^2$$

$x^2$ と $p^2$ が消える。

$$y^2=4px$$

標準形が導けた!

公式を暗記していた $y^2=4px$ は、「焦点と準線から等距離」という定義を、そのまま式にしたものだったのだ。

この定義は、放物線の応用を理解する鍵になる。

パラボラアンテナ。

軸に平行に入ってきた電波は、放物面で反射すると、必ず焦点に集まる。

なぜか。 放物線の反射の性質による。

逆に、焦点から出た光は、反射して軸に平行な平行光線になる。

これが、車のヘッドライトや懐中電灯の原理だ。

焦点に電球を置けば、光がまっすぐ前に飛ぶ。

「焦点」という名前の由来が、これである。 光が焦げるほど集まる点、という意味だ。