数学C / 平面上の曲線

放物線の通径

★★★ 応用放物線

問題

放物線 $y^{2} = 4 x$ の焦点を通り、軸に垂直な弦(通径)の長さを求めよ。

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「焦点を通り、軸に垂直な弦」— この弦が乗っている直線を式で書けるか。書ければ、あとは放物線との交点を求めるだけ。

解答・解説

焦点は $(1, 0)$ 。軸( $x$ 軸)に垂直な弦は $x = 1$ 。 $x = 1$ を $y^{2} = 4 x$ に代入して $2$ 交点の $y$ 座標を出し、その差が弦の長さ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 通径は、焦点 $(1, 0)$ を通り軸に垂直な弦のこと。

その弦は直線 $x = 1$ に乗っている。だから $x = 1$ を $y^{2} = 4 x$ に代入し、 $2$ 交点の $y$ の差をとればよい。

「弦の長さは、その直線を曲線に代入して交点を求める」。円のときと同じ発想を、通径でも使う。

重要通径 = 焦点を通り軸に垂直な弦。焦点の

x

座標を代入して

2

交点を求める

① 焦点と弦の直線。 $y^{2} = 4 x$ は $p = 1$ で焦点 $(1, 0)$ 。軸( $x$ 軸)に垂直で焦点を通る直線は $x = 1$ 。

② 交点を求める。 $x = 1$ を代入すると $y^{2} = 4$ 、 $y = \pm 2$ 。交点は $(1, 2)$ と $(1, - 2)$ 。

③ 弦の長さ。

$2 - (- 2) = 4$

y²=4x の通径。焦点(1,0)を通る x=1 と交わる幅=4

まとめ:通径(focal chord のうち軸に垂直なもの)は、焦点の $x$ 座標を放物線に代入して上下の交点の幅を測る。 $y^{2} = 4 p x$ の通径はつねに $4 p$ (ここでは $4$ )。放物線の「開き具合」を表す量だ。

発展 — 一歩先へ。 $y^{2} = 4 p x$ の通径はつねに $4 p$ になる。実際 $x = p$ を代入すると $y^{2} = 4 p^{2}$ 、 $y = \pm 2 p$ で、幅は $4 p$ 。いまは $4 p = 4$ 。

つまり通径の長さは、方程式 $y^{2} = 4 p x$ の右辺の係数 $4 p$ をそのまま読めばよい。この係数が、放物線の「開き具合」を数値で表している。 $p$ が大きい(焦点が遠い)ほど通径が長く、放物線は横に広く開く。

通径は放物線だけのものではない。楕円にも双曲線にも、焦点を通り軸に垂直な弦(通径)がある。焦点まわりの曲線の「太さ」を測る共通のものさしだ。

答

$4$

別解 — 焦点・準線の定義で高さを出す(得意な人向けの定義視点)。 放物線の式に代入せず、放物線の定義から通径の端点を求められる。

$y^{2} = 4 x$ は $p = 1$ で、焦点 $(1, 0)$ 、準線は $x = - 1$ 。放物線上の点は「焦点までの距離と準線までの距離が等しい」。

通径の端点は $x = 1$ の上にある。準線 $x = - 1$ までの距離は $1 - (- 1) = 2$ 。よって焦点までの距離も $2$ 。

端点は $(1, y)$ 、焦点は $(1, 0)$ だから、焦点までの距離は $∣ y ∣$ 。これが $2$ に等しく $y = \pm 2$ 。

$通径 = 2 - (- 2) = 4.$

代入で解く本解と同じ答え。放物線の定義(焦点距離＝準線までの距離)を使うと、方程式に頼らずに端点の高さ $∣ y ∣ = 2$ が出る。