アステロイドの囲む面積(媒介変数と積分)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 媒介変数で与えられた閉曲線が囲む面積は、$\frac{1}{2}\oint (xdy-ydx)$(グリーンの公式)で計算できる。

$x=a{\cos }^{3}t$、$y=a{\sin }^{3}t$ から $dx,dy$ を求めて代入すると、$xdy-ydx=3a^2{\sin }^{2}t{\cos }^{2}tdt$。

${\sin }^{2}t{\cos }^{2}t=\frac{1}{4}{\sin }^{2}2t$(2倍角)、さらに半角で処理して $1$ 周積分すると $\frac{3\pi a^2}{8}$。

① $xdy-ydx$ を計算。 $dx=-3a{\cos }^{2}t\sin tdt$、$dy=3a{\sin }^{2}t\cos tdt$。 $$xdy=a{\cos }^{3}t\cdot 3a{\sin }^{2}t\cos tdt=3a^2{\cos }^{4}t{\sin }^{2}tdt,$$ $$ydx=a{\sin }^{3}t\cdot (-3a{\cos }^{2}t\sin t)dt=-3a^2{\sin }^{4}t{\cos }^{2}tdt.$$ 引くと $$xdy-ydx=3a^2{\cos }^{2}t{\sin }^{2}t({\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)dt=3a^2{\sin }^{2}t{\cos }^{2}tdt.$$ ② 半角で整える。 ${\sin }^{2}t{\cos }^{2}t=\frac{1}{4}{\sin }^{2}2t=\frac{1}{4}\cdot \frac{1-\cos 4t}{2}=\frac{1-\cos 4t}{8}$。よって $$S=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }3a^2\cdot \frac{1-\cos 4t}{8}dt=\frac{3a^2}{16}{\int }_0^{2\pi }(1-\cos 4t)dt.$$ ③ 積分する。 ${\int }_0^{2\pi }1dt=2\pi$、${\int }_0^{2\pi }\cos 4tdt=0$ だから $$S=\frac{3a^2}{16}\cdot 2\pi =\frac{3\pi a^2}{8}.$$

まとめ 媒介変数の閉曲線の面積は $\frac{1}{2}\oint (xdy-ydx)$。$xdy-ydx=3a^2{\sin }^{2}t{\cos }^{2}tdt$ を半角で処理して $\frac{3\pi a^2}{8}$。曲線(媒介変数)・積分・三角の融合。

発展 — 一歩先へ。 アステロイド(星芒形)は、大きい円の中を半径 $\frac{1}{4}$ の円が転がるとき、円周上の点が描く軌跡(内サイクロイド)。面積は外接円の $\frac{3}{8}$。一般に $x=a{\cos }^{n}t,y=a{\sin }^{n}t$ の面積は $n$ とともに変わり、$n=1$ で円($\pi a^2$)、$n=3$ で $\frac{3}{8}\pi a^2$、$n$ が大きいほど星形に尖って面積が減る。

別解

別解 — $1$ 次変換では出せない「$\frac{3}{8}$」の意味(得意な人向けの視点)。 アステロイドの面積 $\frac{3\pi a^2}{8}$ は、外接円 $\pi a^2$ の $\frac{3}{8}$。この比 $\frac{3}{8}$ がどこから来るかを、積分の中身で見る。

面積公式 $\frac{1}{2}\oint (xdy-ydx)$ に代入すると、被積分関数は $\frac{3a^2}{2}{\sin }^{2}t{\cos }^{2}t=\frac{3a^2}{8}{\sin }^{2}2t$。${\sin }^{2}2t$ の $1$ 周($0$ から $2\pi$)の平均は $\frac{1}{2}$ で、積分は $\frac{3a^2}{8}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\pi \cdot 2$… 整理すると $\frac{3\pi a^2}{8}$。

比 $\frac{3}{8}$ は、係数 $3$(3乗のべきの微分から)と ${\sin }^2{\cos }^2$ の平均 $\frac{1}{8}$ の積 $\frac{3}{8}\times \pi a^2\cdots$ に由来する。アステロイドは円を「${\cos }^3,{\sin }^3$」で歪めた曲線で、$3$ 乗のべきが面積を円の $\frac{3}{8}$ に縮める。同じ手で $x=a{\cos }^{n}t,y=a{\sin }^{n}t$ の面積も計算でき、$n$ が大きいほど星形に尖って面積が減る。