サイクロイドの法線と接地点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「法線が接地点を通る」⟺「$\mathrm{P}$ から接地点へのベクトルが、接ベクトルと垂直」— 垂直の主張は内積に翻訳するのが一番早い。

接ベクトルは $\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)=(1-\cos t,\sin t)$。$\mathrm{P}$ から接地点 $(t,0)$ へのベクトルは $(\sin t,\cos t-1)$。

内積を計算すると、恒等的に $0$。たった1行の計算に、サイクロイドの幾何の核心が入っている。

① 接ベクトル。

$$\frac{dx}{dt}=1-\cos t,\frac{dy}{dt}=\sin t$$

($0<t<2\pi$ では $(1-\cos t,\sin t)\ne (0,0)$ で接ベクトルが定まる。)

② 接地点へのベクトル。 $\mathrm{P}(t-\sin t,1-\cos t)$ から接地点 $\mathrm{Q}(t,0)$ へ:

$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(t-(t-\sin t),0-(1-\cos t))=(\sin t,\cos t-1)$$

③ 内積を計算する。

$$(1-\cos t)\sin t+\sin t(\cos t-1)=\sin t\{(1-\cos t)+(\cos t-1)\}=0$$

— 恒等的に垂直。よって $\mathrm{P}$ における法線は接地点 $(t,0)$ を通る。

まとめ: 内積1発の計算だが、意味は深い — 転がる円はその瞬間、接地点を軸に回転しており、円上の各点の速度は接地点へ向かう半径と垂直になる(瞬間中心)。「法線が接地点を通る」はその力学の言い換えで、サイクロイドの接線の向き($\mathrm{P}$ と円の最高点を結ぶ)もここから読める。

発展 — 一歩先へ。 サイクロイドは性質の宝庫で、「最速降下線」(重力だけで2点間を最短時間で滑る形)であり、「等時曲線」(どこから放しても最下点までの時間が同じ)でもある。振り子時計のホイヘンスはこの等時性を利用した。本問の「法線が接地点を通る」は、これらの証明で繰り返し使われる基本部品だ。

別解

瞬間回転の中心として読む(物理の1行)。 転がる円の運動は、各瞬間には「接地点を中心とする回転」とみなせる(接地点は滑らないので、その瞬間だけ速度0=回転の軸)。

回転運動では、各点の速度はつねに「回転中心からその点へのベクトル」と垂直。点 $\mathrm{P}$ の速度ベクトルは接線方向だから、「接線 ⊥(接地点から $\mathrm{P}$)」— すなわち法線が接地点を通る。計算の内積 $0$ は、この力学の言い換えだった。

おまけに速さまで分かる。回転の角速度は $1$(単位時間に角 $t$ が $1$ 進む)なので、速さ $=$ 接地点までの距離。実際 $|\vec{v}{|}^2=(1-\cos t{)}^2+{\sin }^{2}t=2-2\cos t=|\overrightarrow{(\text{接地点})\mathrm{P}}{|}^2$ が恒等的に成り立つ。サイクロイドの頂上($t=\pi$)で速さが最大 $2$(=直径)になるのも、この見方なら一目だ。