レムニスケートの囲む面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極方程式では、まず $r^2\ge 0$ から $\theta$ の動ける範囲を確定する。$\cos 2\theta \ge 0$ より $-\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{4}$(右葉)とその反対側(左葉)— 曲線は原点で交差する2枚の葉だ。

面積は極座標の公式 $S=\int \frac{1}{2}{r}^{2}d\theta$。$r^2=\cos 2\theta$ をそのまま入れられるのがこの形の御利益で、右葉の面積を計算して対称性で2倍する。

範囲の確定を飛ばすと、葉のない方向まで積分して答えが壊れる — 「定義域から」の一手間が急所だ。

① 定義域(葉の範囲)。 $\cos 2\theta \ge 0⟺-\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{4}$(mod $\pi$)。$\theta =\pm \frac{\pi }{4}$ で $r=0$(原点)、$\theta =0$ で $r=1$(最遠点)— 右葉はこの範囲で閉じる。左葉は対称。

② 右葉の面積。

$$S_{右}={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}\frac{1}{2}\cos 2\theta d\theta =\frac{1}{2}{\left[\frac{\sin 2\theta }{2}\right]}_{-\pi /4}^{\pi /4}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$$

③ 全体。 左右対称だから

$$S=2\times \frac{1}{2}=1$$

— 曲線は超越的なのに、面積はちょうど $1$ という整数に落ちる。

まとめ: 極方程式は「$r^2\ge 0$ の定義域」が形を決める — 立ち入り禁止の $\theta$ が葉の切れ目になる。面積公式が $r^2$ を直接受け取るので、$r^2=\cos 2\theta$ 型はむしろ計算が軽い。定義域の吟味を飛ばして $0$ から $2\pi$ まで積分すると値が合わない(負の $r^2$ を拾う)— そこがこの問題の罠だ。

発展 — 一歩先へ。 レムニスケート(ベルヌーイの連珠形)は「2定点からの距離の積が一定」の軌跡でもある(和なら楕円、差なら双曲線、積ならこの曲線)。面積は本問のとおり初等的に $1$ と求まるのに、弧長は初等関数では書けず、その研究(レムニスケート積分)が楕円関数論という大分野を生んだ — 面積と長さで難しさが段違いになる、歴史的な曲線だ。

別解

面積公式を扇形の区分求積で手作りしてから使う。 極座標の面積公式 $S=\int \frac{1}{2}{r}^{2}d\theta$ を、天下りでなく自前で正当化しておこう。

角の範囲を細かく $\Delta \theta$ ずつに刻むと、各切れ端は「半径 $r(\theta )$、中心角 $\Delta \theta$ の扇形」でほぼ近似できる。扇形の面積は $\frac{1}{2}{r}^2\Delta \theta$(円の面積 $\pi r^2$ の $\frac{\Delta \theta }{2\pi }$ 倍)。足し上げて $\Delta \theta \to 0$ とすれば

$$S=\int \frac{1}{2}{r}^{2}d\theta$$

区分求積の考え方そのものだ。あとは本解と同じ計算で、右葉 $=\frac{1}{2}{\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}\cos 2\theta d\theta =\frac{1}{2}$、全体で $1$。

なお、この曲線は直交座標では $(x^2+y^2{)}^2=x^2-y^2$ と書ける($r^2=x^2+y^2$、$\cos 2\theta =\frac{x^2-y^2}{r^2}$ を代入)。直交形では面積計算が絶望的なのに、極座標なら3行 — 「曲線に合った座標を選ぶ」ことの威力の見本だ。