サイクロイドの1つの山の弧長(媒介変数と積分)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 媒介変数で与えられた曲線の長さは、$\int \sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}dt$ で計算する。

$x^{\prime }=a(1-\cos t)$、$y^{\prime }=a\sin t$ を代入すると、根号の中は $a^2\{(1-\cos t{)}^2+{\sin }^{2}t\}=a^2(2-2\cos t)$。

ここで半角 $2-2\cos t=4{\sin }^2\frac{t}{2}$ を使うと根号が外れて、被積分関数が $2a\left|\sin \frac{t}{2}\right|$。$0\le t\le 2\pi$ で $\sin \frac{t}{2}\ge 0$ だから、そのまま積分できる。

① 速さを計算。 $x^{\prime }=a(1-\cos t),y^{\prime }=a\sin t$。 $$(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2=a^2\{(1-\cos t{)}^2+{\sin }^{2}t\}=a^2(1-2\cos t+{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)=a^2(2-2\cos t).$$ ② 半角で根号を外す。 $2-2\cos t=4{\sin }^2\frac{t}{2}$ だから、$0\le t\le 2\pi$ で $\sin \frac{t}{2}\ge 0$、 $$\sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}=a\sqrt{4{\sin }^2\frac{t}{2}}=2a\sin \frac{t}{2}.$$

③ 積分する。 $$L={\int }_0^{2\pi }2a\sin \frac{t}{2}dt=2a[-2\cos \frac{t}{2}{]}_0^{2\pi }=2a(-2\cos \pi +2\cos 0)=2a(2+2)=8a.$$

まとめ 曲線の長さは速さ $\sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}$ の積分。半角 $2-2\cos t=4{\sin }^2\frac{t}{2}$ で根号が外れ、$1$ 山の長さは $8a$(半径 $a$ の $8$ 倍)。媒介変数・積分・三角の融合。

発展 — 一歩先へ。 サイクロイドは「最速降下曲線」(重力だけで玉が最短時間で滑り降りる曲線)であり、「等時曲線」(どこから放しても同じ時間で最下点に着く)でもある。$17$ 世紀にベルヌーイ兄弟やホイヘンスが競って研究した名曲線。弧長 $8a$ の簡潔さは、その豊かな性質の一端にすぎない。

別解

別解 — 半径 $a$ の円が転がる「速さ」で捉える(得意な人向けの視点)。 サイクロイドは、半径 $a$ の円が直線上を転がるとき、円周上の $1$ 点が描く軌跡。弧長は、その点が動いた道のりだ。

転がる円の中心は一定の速さ $a$(角速度 $1$)で進む。円周上の点は、中心のまわりを回りながら進むので、速さが場所によって変わる。いちばん下(接地点)では瞬間的に静止し($\left|\sin \frac{t}{2}\right|=0$)、いちばん上では中心の $2$ 倍の速さ。

その速さがちょうど $2a\left|\sin \frac{t}{2}\right|$。$1$ 山($t:0\to 2\pi$)で積分すると

$${\int }_0^{2\pi }2a\sin \frac{t}{2}dt={\left[-4a\cos \frac{t}{2}\right]}_0^{2\pi }=8a.$$

「山の弧長 $8a$ は、転がる円の直径 $2a$ のちょうど $4$ 倍」。接地点で点が瞬間停止することが、$\left|\sin \frac{t}{2}\right|$ が $0$ になる理由で、この速度の変化が弧長の計算に現れる。